X OM - I - Zadanie 8

Bokami trójkąta są środkowe innego trójkąta. Obliczyć stosunek pól obu trójkątów. Czy ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt?

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie środkiem ciężkości trójkąta $ ABC $. Przedłużmy środkową $ AD $ o odcinek $ DM = SD $ (rys. 15). Otrzymujemy trójkąt $ BSM $, w którym $ BS = \frac{2}{3} BE $, $ SM = \frac{2}{3} AD $, a $ BM = SC = \frac{2}{3} CF $ (gdyż czworokąt $ SBMC $ jest równoległobokiem). Trójkąt $ BSM $ jest więc podobny w skali $ \frac{2}{3} $ do trójkąta $ T $ utworzonego ze środkowych trójkąta $ ABC $; pole trójkąta $ BSM $ równa się zatem $ \frac{4}{9} $ pola $ T $. Lecz pole $ \triangle BSM = \textrm{pole }\triangle ASB = \frac{1}{3} \cdot \textrm{pole }\triangle ABC $. Stąd wynika, że $ \textrm{pole }T = \frac{3}{4} \cdot \textrm{pole }\triangle ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź