X OM - I - Zadanie 9

Znaleźć warunek konieczny i dostateczny, jaki mają spełniać współczynniki równania

\[<br />
(1) \qquad ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,<br />
\]

aby istniały dwa różne pierwiastki tego równania mające iloczyn równy jedności.

Rozwiązanie

Zadanie rozwiążemy (w zakresie liczb rzeczywistych ) najpierw przy założeniu, że $ a \ne 0 $.

Przypuśćmy, że liczby $ x_1 $ i $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ spełniają równanie (1), przy czym $ x_2 \ne x_1 $, tzn. że $ x_1 \ne 1 $ i $ x_1 \ne - 1 $. Podstawiając do równania (1) $ x = x_1 $ i $ x = \frac{1}{x_1} $, otrzymujemy równości:

\[<br />
(2) \qquad ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d_1 = 0,<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad a + bx_1 + cx_1^2 + dx_1^3 = 0.<br />
\]

Dodając i odejmując te równości, otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad a (x_1^3 + 1) + bx_1 (x_1 + 1) + cx_1 (x_1 + 1) + d (x_1^3 + 1)=0,<br />
\]
\[<br />
(5) \qquad a (x_1^3 - 1) + bx_1 (x_1 - 1) - cx_1 (x_1 - 1) - d (x_1^3 - 1)=0.<br />
\]

Ponieważ $ x_1 + 1 \ne 0 $ i $ x_1 - 1 \ne 0 $, więc z (4) i (5) wynikają równości

\[<br />
a (x_1^2 - x_1 + 1) + bx_1 + cx_1 + d (x_1^2 - x_1 + 1) = 0,<br />
\]
\[<br />
a (x_1^2 + x_1 + 1) + bx_1 - cx_1 - d (x_1^2 + x_1 + 1) = 0,<br />
\]

które po uporządkowaniu przybierają postać

\[<br />
(6) \qquad (a + d) x_1^2 + (- a + b + c - d) x_1 + (a + d) = 0,<br />
\]
\[<br />
(7) \qquad (a-d)(x_1^2 + (a + b - c- d) x_1 + (a - d) = 0.<br />
\]

Wreszcie, dodając i odejmując równości (6) i (7) otrzymujemy po uproszczeniu równości

\[<br />
(8) \qquad ax_1^2 + (b - d) x_1 + a = 0,<br />
\]
\[<br />
(9) \qquad dx_1^2 + (c - a) x_1 + d = 0.<br />
\]

Wykazaliśmy, że jeżeli istnieją dwa różne rozwiązania $ x_1 $ i $ \frac{1}{x_1} $ równania (1), to liczba $ x_1 $ spełnia warunki (8) i (9). Odwrotnie, jeśli istnieje liczba $ x_1 $ różna od $ 1 $ i od $ - 1 $, która spełnia (8) i (9), to wykonując przekształcenia polegające na dodawaniu i odejmowaniu równości oraz na mnożeniu równości przez liczbę, możemy poprzedni ciąg równości przebiec w kierunku odwrotnym, skąd wnosimy, że owa liczba $ x_1 $ spełnia też równości (2) i (3). Ponieważ $ x_1 \ne 0 $, gdyż $ a \ne 0 $, więc wynik ten oznacza, że równanie (1) ma pierwiastki $ x_1 $ i $ \frac{1}{x_1} $, przy czym $ x_1^2 \ne 1 $.

Zadanie sprowadza się więc (przy założeniu $ a \ne 0 $) do znalezienia warunku koniecznego i dostatecznego do tego, aby równania

\[<br />
(10) \qquad ax^2 + (b - d) x + a = 0,<br />
\]
\[<br />
(11) \qquad dx^2 + (c - a) x + d = 0,<br />
\]

miały wspólny pierwiastek różny od $ 1 $ i od $ - 1 $.

Otóż równanie (10) ma taki pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy ma ono pierwiastki rzeczywiste różne, tzn. gdy zachodzi nierówność

\[<br />
(12) \qquad (b - d)^2 - 4a^2 > 0,<br />
\]

z której wynika nierówność $ b - d \ne 0 $.

Pomnóżmy lewe strony równań (10) i (11) odpowiednio przez $ c - a $ i $ b - d $ i odejmijmy te iloczyny; otrzymamy tożsamość

\[<br />
(13) \qquad (c - a) [ax^2 + (b - d) x + a] - (b - d) [dx^2 + (c - a) x + d] = [a(c - a) -d(b - d)] (x^2 + 1).<br />
\]

Przypuśćmy, że warunek (12) jest spełniony i że $ x_1 $ jest pierwiastkiem równania (10); podstawiając $ x_1 $ zamiast $ x $ do tożsamości (13), otrzymamy wówczas

\[<br />
(14) \qquad - (b - d) [dx_1^2 + (c - a) x_1 + d] = [a (c - a) - d (b - d)] (x_1^2 + 1).<br />
\]

Ponieważ $ b - d \ne 0 $ i $ x^2 + 1 \ne 0 $, więc z tożsamości (14) wynika, że liczba $ x_1 $ jest wtedy i tylko wtedy pierwiastkiem równania (11), gdy

\[<br />
(15) \qquad a(c - a) - d(b - d) = 0.<br />
\]

Zatem w przypadku, gdy $ a \ne 0 $, poszukiwanymi warunkami dla współczynników równania (1) są warunki (12) i (15).

Gdy $ a = 0 $, równanie (1) przybiera postać

\[<br />
(1a) \qquad  bx^2 + cx + d = 0.<br />
\]

Jeśli $ b \ne 0 $, równanie (1a) ma wtedy i tylko wtedy dwa różne pierwiastki o iloczynie $ 1 $, gdy spełnione są warunki

\[<br />
(16) \qquad c^2 - 4bd > 0,\ b = d.<br />
\]

Gdy wreszcie i $ b = 0 $, wtedy równanie ma postać

\[<br />
(1b) \qquad cx + d = 0.<br />
\]

Równanie (1b) ma wtedy i tylko wtedy dwa różne pierwiastki o iloczynie $ 1 $, gdy jest ono tożsamością, tzn. gdy

\[<br />
c = d = 0.<br />
\]

Odpowiedź na postawione zagadnienie jest zatem następująca.

Warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby istniały dwa różne pierwiastki równania

\[<br />
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0<br />
\]

mające iloczyn równy $ 1 $, jest warunek, żeby zachodził jeden z trzech przypadków

a) $ a \ne 0 $, $ (b - d)^2 - 4a^2 > 0 $, $ a (c - a) - d (b - d) = 0 $,

b) $ a = 0 $, $ b \ne 0 $, $ c^2 - 4bd > 0 $, $ b = d $,

c) $ a = b = c = d = 0 $.

Uwaga. W powyższym rozwiązaniu przyjęliśmy, że współczynniki równania (1) są rzeczywiste i że chodzi o pierwiastki rzeczywiste tego równania. Rozwiązanie zadania w zakresie liczb zespolonych wymaga następującej modyfikacji przeprowadzonego rozumowania.

Stosując metodę sposobu 1 sprowadzamy zadanie, przy założeniu że $ a \ne 0 $, jak poprzednio do ustalenia warunku koniecznego i dostatecznego do tego, aby równania (10) i (11) miały wspólny pierwiastek różny od $ 1 $ i od $ - 1 $.

W zakresie liczb zespolonych warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby równania (10), w którym $ a \ne 0 $ miało pierwiastek różny od $ 1 $ i od $ - 1 $, jest nierówność

\[<br />
(12a) \qquad (b - d)^2 - 4a^2 \ne 0.<br />
\]

Przypuśćmy, że ten warunek jest spełniony i że $ x_1 $ jest pierwiastkiem równania (10); wówczas tak samo jak poprzednio zachodzi tożsamość

\[<br />
(14) \qquad - (b - d) [dx_1^2 + (c - a) x_1 + d] = [a (c - a) - d (b - d)] (x_1^2 + 1).<br />
\]

Nie możemy jednak wywnioskować stąd nierówności (15) jak w przypadku liczb rzeczywistych, gdyż nie możemy twierdzić, że $ b - d \ne 0 $ i $ x_1^2 + 1 \ne 0 $; rozumujemy jak następuje.

Jeżeli $ x_1 $ jest pierwiastkiem równania (11), to na mocy (14)

\[<br />
[a (c - a) - d (b - d)] (x_1^2 + 1) = 0.<br />
\]

Jeśli $ x_1^2 + 1 \ne 0 $, otrzymujemy stąd równość

\[<br />
(15) \qquad a (c - a) - d (b - d) = 0.<br />
\]

Lecz jeżeli $ x_1^2 + 1 = 0 $, to też zachodzi równość (15)! Albowiem $ x_1 $ spełnia równania (10) i (11), a przy tym $ x_1 \ne 0 $, skąd wynika, że $ b - d = 0 $, $ c - a = 0 $.

Odwrotnie, jeżeli zachodzi równość (15), to z tożsamości (14) otrzymujemy

\[<br />
(b - d) [dx_1^2 + (c - a) x_1 + d] = 0,<br />
\]

zatem jeżeli $ b - d \ne 0 $, to $ x_1 $ jest pierwiastkiem równania (11). Jeżeli zaś $ b - d = 0 $, to $ x_1 $ też spełnia równanie (11), gdyż z warunku (15) i równości $ b - d = 0 $ wynika, że $ c - a = 0 $, a z równania (10) mamy wówczas $ x_1^2 + 1 = 0 $.

Okazało się więc, że poszukiwanymi warunkami koniecznymi i dostatecznymi są (12a) i (15).

Pozostała część rozumowania, odnosząca się do przypadku $ a = 0 $, przebiega tak samo jak poprzednio, z tą tylko różnicą, że zamiast warunków (16) wystąpią warunki

\[<br />
(16a) \qquad c^2 - 4bd \ne 0,\ b = d.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź