X OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli na każdym z czworokątów $ ABCD $ i $ CDEF $ można opisać okrąg, a proste $ AB $, $ CD $, $ EF $ przecinają się w jednym punkcie $ M $, to na czworokącie $ ABEF $ można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Zastosujemy twierdzenie o siecznych okręgu przechodzących przez jeden punkt: 1° do prostych $ AB $ i $ CD $, 2° do prostych $ CD $ i $ EF $ (rys. 16).

Otrzymujemy

\[<br />
MA \cdot MB = MC \cdot MD,<br />
\]
\[<br />
MC \cdot MD = ME \cdot MF.<br />
\]

Stąd

\[<br />
MA \cdot MB = ME \cdot MF.<br />
\]

Z tej ostatniej równości wynika, że punkty $ A $, $ B $, $ E $, $ F $ leżą na okręgu. Istotnie, wobec tej równości zachodzi proporcja $ MA \colon ME = MF \colon MB $, zatem trójkąty $ AMF $ i $ EMB $ o wspólnym kącie $ M $ mają boki przyległe proporcjonalne, więc są podobne i $ \measuredangle A = \measuredangle E $. To zaś znaczy, że z punktów $ A $ i $ E $ widać odcinek $ BF $ pod tym samym kątem, punkty $ A $ i $ E $ leżą więc na okręgu przechodzącym przez $ B $ i $ F $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź