X OM - I - Zadanie 11

Po tej samej stronie prostej $ AB $ zbudowano trzy półokręgi o średnicach $ AB = a + b $, $ AC = a $, $ CB = b $. Obliczyć promień koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, mając dane $ a $ i $ b $.

Rozwiązanie

Niech $ O $, $ S $, $ T $ oznaczają odpowiednio środki półokręgów o średnicach $ AB $, $ AC $ i $ CB $, $ U $ - środek koła wpisanego w figurę ograniczoną tymi półokręgami, a $ x $ - jego średnicę (rys. 17).

Długości wszystkich odcinków figury rys. 17 łatwo wyrazić w zależności od $ a $, $ b $, $ x $. Korzystając ze związku między promieniami a odległością środków kół stycznych otrzymujemy:

\[<br />
ST = \frac{1}{2}(a+b),\<br />
SO = \frac{1}{2}(a+ b)-\frac{1}{2}a = \frac{1}{2}b,\<br />
OT = \frac{1}{2} a,<br />
\]
\[<br />
SU = \frac{1}{2}(a+ x),\<br />
OU = \frac{1}{2}(a + b - x),\<br />
TU = \frac{1}{2} (b + x).<br />
\]

Zwróćmy uwagę na trójkąt $ STU $ i odcinek $ OU $. Wiadomo, że w trójkącie pomiędzy bokami a odcinkiem poprowadzonym z jednego wierzchołka do boku przeciwległego i dzielącym ten bok w danym stosunku zachodzi związek, który wyraża tzw. twierdzenie Stewarta (Patrz Zadania z Olimpiad Matematycznych, PZWS 1956, zadanie Nr 68). Dla trójkąta $ STU $ i odcinka $ OU $ jest to związek

\[<br />
(1) \qquad ST \cdot OU^2 = SO \cdot TU^2 + OT \cdot SU^2 - ST \cdot SO \cdot OT.<br />
\]

Podstawiając do powyższej równości znalezione poprzednio wyrażenia dla długości odcinków, otrzymujemy równanie

\[<br />
(a + b)(a + b- x)^2 = b(b + x)^2 + a(a+ x)^2 - ab (a + b),<br />
\]

którego rozwiązaniem jest

\[<br />
x = \frac{ab (a + b)}{a^2+ ab + b^2}.<br />
\]

Uwaga. Związek (1) łatwo otrzymać obliczając $ \cos S $ dla każdego z trójkątów $ STU $ i $ SOU $ według wzoru cosinusów. Daje to związek

\[<br />
\frac{ST^2 + SU^2 - TU^2}{2ST \cdot SU} =<br />
\frac{SO^2 + SU^9 - OU^2}{2S0 \cdot SU},<br />
\]

który po prostych przekształceniach otrzymuje postać (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź