X OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że, jeżeli w trójkącie $ ABC $ liczby $ \tg A $, $ \tg B $ i $ \tg C $ tworzą postęp arytmetyczny, to liczby $ \sin 2A $, $ \sin 2B $ i $ \sin 2C $ tworzą również postęp arytmetyczny.

Rozwiązanie

Z założeń zadania wynika, że

\[<br />
\tg B - \tg A = \tg C - \tg B,<br />
\]

zatem

\[<br />
\frac{\sin (B - A)}{\cos B \cos A} = \frac{\sin (C - B)}{\cos C \cos B};<br />
\]

stąd

\[<br />
\sin (B - A) \cos C = \sin (C - B) \cos A,<br />
\]

więc

\[<br />
\sin (B - A) \cos (B + A) = \sin (C - B) \cos (C + B)<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\sin 2B - \sin 2A = \sin 2C - \sin 2B,<br />
\]

czego należało dowieść.

Uwaga. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne: jeżeli kąty trójkąta $ ABC $ spełniają równość (2), to spełniają też równość (1). Istotnie, na podstawie przekształceń wykonanych wyżej w sposobie 1 stwierdzamy, że jeżeli zachodzi (2), to zachodzi też (2a), zatem również (la), a więc też (1). Można też skorzystać z przekształceń sposobu 2, wykonując je w odwrotnym porządku, trzeba jednak wtedy uzasadnić ostatnie przekształcenie, tzn. podzielenie równości przez $ \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C $, wykazując, że przy założeniu (2) żaden z kątów $ A $, $ B $, $ C $ nie może być prosty. Pozostawiamy to jako łatwe ćwiczenie dla czytelnika.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź