X OM - II - Zadanie 2

Przy jakiej zależności między bokami trójkąta jest on podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych ?

Rozwiązanie

Oznaczmy środkowe poprowadzone do boków $ a $, $ b $, $ c $ trójkąta $ ABC $ odpowiednio literami $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $. Mamy zbadać, w jakich trójkątach środkowe są proporcjonalne do boków trójkąta. Należy tu przede wszystkim wziąć pod uwagę, że większa z dwóch nierównych środkowych jest poprowadzona do krótszego boku. Aby się o tym przekonać, wystarczy zastosować znane wzory na długość środkowych

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
4m^2_a = 2b^2 + 2c^2 - a^2,\\<br />
4m^2_b = 2c^2 + 2a^2 - b^2,\\<br />
4m^2_c = 2a^2 + 2b^2 - c^2,<br />
\end{array}<br />
\]

z których wynika, że na przykład

\[<br />
4 (m^2_a - m^2_b) = 3(b^2- a^2).<br />
\]

Jeśli $ m_a> m_b $, to $ m^2_a > m^2_b $, zatem według powyższego wzoru $ b^2 > a^2 $, a stąd $ b > a $.

Przypuśćmy, że $ a \leq b \leq c $, w takim razie $ m_c \leq m_b \leq m_a $. Trójkąt o bokach $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $ jest wtedy i tylko wtedy podobny do trójkąta o bokach $ a $, $ b $, $ c $, gdy

\[<br />
(2) \qquad \frac{m_a}{c} = \frac{m_b}{b} = \frac{m_c}{a}.<br />
\]

W zadaniu 8 udowodniliśmy, że pole trójkąta równa się $ \frac{4}{3} $ pola trójkąta utworzonego z jego środkowych. Jeżeli te trójkąty są podobne, to stosunek ich pól równa się kwadratowi stosunku odpowiednich boków, zatem z uwagi na (2) jest $ m^2_a = \frac{3}{4} c^2 $. Stąd na podstawie pierwszego ze wzorów (1)

\[<br />
3c^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2<br />
\]

więc

\[<br />
(3) \qquad b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}.<br />
\]

Odwrotnie, jeżeli warunek (3) jest spełniony, to trójkąt o bokach $ a $, $ b $, $ c $ jest podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych. Istotnie, uwzględniając we wzorach (1) zależność (3), otrzymujemy

\[<br />
4m^2_a = a^2 + c^2 + 2c^2 - a^2 = 3c^2,<br />
\]
\[<br />
4m^2_b = 4b^2 -b^2 = 3b^2,<br />
\]
\[<br />
4m^2_c = 2a^2 + a^2 + c^2 - c^2 = 3a^2,<br />
\]

skąd wynika, że $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $ są proporcjonalne do $ c $, $ b $, $ a $.

Otrzymaliśmy zatem wynik następujący:

Trójkąt jest wtedy i tylko wtedy podobny do trójkąta utworzonego z jego środkowych, gdy kwadrat średniego co do długości boku trójkąta jest równy średniej arytmetycznej kwadratów najkrótszego i najdłuższego boku.

Uwaga 1. W rozwiązaniu można by nie powoływać się na zadanie 8 i wysnuć warunek (3) ze wzorów (1) i (2). Ten nietrudny rachunek proponujemy jako ćwiczenie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź