X OM - II - Zadanie 4

Dany jest ciąg liczb $ 13, 25, 43, \ldots $ którego $ n $-ty wyraz jest określony wzorem

\[<br />
a_n =3(n^2 + n) + 7.<br />
\]

Dowieść, że ciąg ten ma następujące własności:

1° Wśród każdych pięciu kolejnych wyrazów ciągu dokładnie jeden jest podzielny przez $ 5 $,

2° Żaden wyraz ciągu nie jest sześcianem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

1° Zauważmy, że tezę twierdzenia można tak wypowiedzieć: w danym ciągu co piąty wyraz począwszy od drugiego jest podzielny przez $ 5 $, ale żaden inny nie jest podzielny przez $ 5 $. Znaczy to, że $ a_n $ jest podzielne przez $ 5 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ n = 2 + 5k $, co daje $ n - 2 = 5k $. To spostrzeżenie naprowadza na myśl, żeby zmienić numerację ciągu, podstawiając $ n = 2 + m $, przy czym $ m $ ma przybierać wartości $ -1, 0, 1, 2, 3, \ldots $ Wówczas

\[<br />
a_n = 3(m + 2)^2 + 3(m + 2) + 7 = 3m^2 + 15 m + 25.<br />
\]

Ponieważ $ 15 m + 25 $ jest przy całkowitym $ m $ podzielne przez $ 5 $, więc z powyższej równości wynika, że $ a_n $ jest wtedy i tylko wtedy podzielne przez $ 5 $, gdy $ 3 m^2 $ jest wielokrotnością pięciu, co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $ m $ jest podzielne przez $ 5 $, tzn. gdy $ n = 2 + 5k $, gdzie $ k = 0, 1, 2, 3, \ldots $

2° Przeprowadzimy dowód niewprost. Przypuśćmy, że istnieje taka liczba całkowita $ t $, że

\[<br />
a_n = 3n^2 + 2n + 7 = t^3.<br />
\]

Liczba $ 3n^2 + 3n + 7 = 3n (n + 1) + 7 $ jest nieparzysta, gdyż $ n (n + 1) $ jako iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą parzystą; wobec tego $ t^3 $, a zatem również $ t $ jest liczbą nieparzystą i $ t = 2s + 1 $, gdzie $ s $ oznacza liczbę całkowitą. Wówczas

\[<br />
3n^2 + 3n + 7 = 8s^3 + 12s^2 + 6s + 1<br />
\]

lub

\[<br />
3n^2 + 3n + 6 = 8s^3 + 12s^2 + 6s.<br />
\]

Z tej równości wnioskujemy, że $ 8s^3 $, a zatem i $ s $ jest podzielne przez $ 3 $, gdyż wszystkie pozostałe wyrazy są podzielne przez $ 3 $. Podstawiając $ s = 3r $ otrzymujemy

\[<br />
3n^2 + 3n + 6 = 8 \cdot 27r^3 + 12 \cdot 9 r^2 + 6 \cdot 3 r,<br />
\]

a po podzieleniu przez $ 3 $:

\[<br />
n^2 + n + 2 = 72r^3 + 30r^2 + 6r.<br />
\]

Otrzymaliśmy sprzeczność, gdyż prawa strona tej równości jest podzielna przez $ 3 $, a lewa nie; mianowicie $ n^2 + n + 2 $ daje w dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 2 $, gdy $ n $ jest postaci $ 3k $ lub $ 3k + 2 $, a resztę $ 1 $, gdy $ n $ jest postaci $ 3k + 1 $.

Komentarze

Można się łatwo obejść bez rozważania podzieloności przez 2

a_n daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, jeśli więc jest on trzecią potęgą liczby całkowitej to nietrudno spostrzec że jest on postaci (3k+1)^3 (otrzymujemy to po rozpisaniu reszt lub jako prosty wniosek z MTF). To jednak implikuje równość (3k)^3+3(3k)^2+3(3k) = 3(n^2+n)+6 gdzie lewa strona jest podzielna przez 9 a prawa nie,
bo n^2+n+2 nie jest podzielna przez 3.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Dodaj nową odpowiedź