X OM - II - Zadanie 5

Na płaszczyźnie, umieszczono $ n \geq 3 $ odcinków w ten sposób, że każde $ 3 $ z nich mają punkt wspólny. Dowieść, że istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.

Rozwiązanie

Ponieważ każde $ 3 $ z danych odcinków mają punkt wspólny, więc również każde $ 2 $ z nich mają punkt wspólny. Przypuśćmy, że wśród danych odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ istnieją takie dwa odcinki, dajmy na to $ a_1 $ i $ a_2 $, które nie leżą na jednej prostej, więc mają tylko jeden punkt $ A $ wspólny. Jeżeli $ a_k $ jest którymkolwiek z pozostałych odcinków, to trójka odcinków $ a_1 $, $ a_2 $, $ s_k $ ma według założenia punkt wspólny, zatem odcinek $ a_k $ musi zawierać punkt $ A $, tzn. $ A $ jest punktem wspólnym wszystkich odcinków. Gdy rozpatrzony wyżej przypadek nie zachodzi, tzn. gdy każde dwa odcinki leżą na jednej prostej, to wszystkie odcinki leżą na tej samej prostej. W tym przypadku zachodzi twierdzenie mocniejsze niż to, które zostało sformułowane w zadaniu, a mianowicie twierdzenie następujące:

Jeżeli odcinki $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n \geq 2 $) leżą na prostej i każde dwa z nich mają punkt wspólny, to istnieje punkt wspólny wszystkich odcinków.

Dowód przeprowadzimy metodą indukcji zupełnej.

a) Gdy $ n = 2 $, twierdzenie jest oczywiście prawdziwe.

b) Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe, gdy $ n = k \geq 2 $.

W takim razie odcinki $ a_1, a_2, \ldots, a_k $ mają jakiś punkt wspólny $ P $. Udowodnimy, że istnieje punkt wspólny odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_{k+1} $. Niech końcami odcinka $ a_{k+1} $ będą punkty $ M $ i $ N $ (rys. 19).

Jeżeli punkt $ P $ leży między punktami $ M $ i $ N $ albo pokrywa się z jednym z nich, to $ P $ jest punktem wspólnym odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_k, a_{k+1} $. Jeżeli punkt $ M $ leży między punktami $ P $ i $ N $, to wtedy $ M $ jest punktem wspólnym odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_k, a_{k+1} $. Istotnie, każdy z odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_k $ zawiera $ P $ oraz - na mocy założenia - jakiś punkt $ Q $ odcinka $ MN $, musi więc zawierać cały odcinek $ PQ $, a punkt $ M $ należy do odcinka $ PQ $. Wreszcie, gdy punkt $ N $ leży między punktami $ M $ i $ P $, to stwierdzamy analogicznie, że wtedy $ N $ jest punktem wspólnym odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_k, a_{k+1} $. Z przesłanek a) i b) wynika prawdziwość twierdzenia dla dowolnego $ n \geq 2 $.

Uwaga. Powyższe twierdzenie o odcinkach na prostej jest przypadkiem szczególnym pewnego ważnego twierdzenia o figurach wypukłych.

Figura nazywa się wypukła, jeżeli ma tę własność, że gdy należą do niej punkty $ A $ i $ B $, to należy też do niej cały odcinek $ AB $. Pojedynczy punkt uważamy także za figurę wypukłą. Zakreskowana część płaszczyzny na rys. 20 jest figurą wypukłą, natomiast figura na rys. 21 nie jest wypukła.

Figurami wypukłymi są na przykład: odcinek, prosta, kwadrat, koło, płaszczyzna, sześcian, kula. Łuk okręgu, pierścień kołowy, dowolna część powierzchni kuli, para płaszczyzn przecinających się lub równoległych nie są figurami wypukłymi. Trójkąt jest figurą wypukłą, czworokąt zaś może być wypukły lub niewypukły (wklęsły). W dalszym ciągu będziemy mówili tylko o figurach wypukłych leżących na jednej płaszczyźnie. Ponadto przyjmiemy, że figury te są ograniczone, tzn. że każdą z nich można zmieścić w dostatecznie wielkim kole. Umówimy się wreszcie rozważać tylko figury domknięte, tzn. odcinek razem z końcami, wielokąt razem z obwodem, koło razem z jego okręgiem itd.

Wymienimy dwie proste własności figur wypukłych, z których potem skorzystamy.

1. Niech $ F_1, F_2, F_3, \ldots $ będą figurami wypukłymi, przy czym ilość tych figur jest dowolna (może ich być nawet nieskończenie wiele). Jeżeli istnieją punkty wspólne wszystkich tych figur, to zbiór (ogół) tych punktów, czyli część wspólna $ \Phi $ figur $ F_1, F_2, F_3, \ldots $ jest figurą wypukłą (rys. 22).

Istotnie, jeżeli punkty $ A $ i $ B $ należą do figury $ \Phi $, to należą do każdej z figur wypukłych $ F_1, F_2, F_3, \ldots $; w takim razie odcinek $ AB $ też należy do każdej z tych figur, tzn. należy do $ \Phi $.

2. Niech $ F $ i $ G $ będą dwiema figurami wypukłymi płaszczyzny, nie mającymi żadnego punktu wspólnego. Wówczas jedną z nich można oddzielić od drugiej linią prostą, tzn. tak poprowadzić prostą, żeby figury $ F $ i $ G $ leżały po przeciwnych stronach tej prostej. Taką prostą jest na przykład symetralna $ s $ odcinka łączącego dwa najbliższe sobie punkty $ M $ i $ N $ figur $ F $ i $ G $ (rys. 23). Istnienie najkrótszej odległości $ MN $ dwóch figur wypukłych, choć intuicyjnie wydaje się oczywiste, wymagałoby dowodu, który tutaj pomijamy. Odcinków takich jak $ M $N, tj. przedstawiających najkrótszą odległość figur $ F $ i $ G $, może być wiele.

Istotnie, prosta $ s $ nie może mieć punktu wspólnego z żadną z figur $ F $ i $ G $. Gdyby bowiem pewien punkt $ P $ prostej $ s $ należał na przykład do figury $ F $, to cały odcinek $ MP $ należałby do $ F $, a w takim razie, prowadząc z punktu $ N $ prostopadłą do prostej $ MP $, otrzymalibyśmy w przecięciu z $ MP $ punkt $ Q $ figury $ F $ leżący bliżej punktu $ N $ figury $ G $ niż punkt $ M $, wbrew założeniu. Zatem figura $ F $ leży całkowicie po tej stronie prostej $ s $, co punkt $ M $, a figura $ G $ - po stronie przeciwnej.

Istnieje wiele ciekawych twierdzeń o figurach wypukłych. Do wstępnego studium teorii figur wypukłych można polecić książkę: I. Jagłom i W. Bołtiański - Figury wypukłe, PWN 1955. Zajmiemy się tutaj jednym z nich, o którym wzmiankowaliśmy już wyżej. Jest to twierdzenie następujące.

Jeżeli figury wypukłe $ F_1, F_2, F_3, \ldots, F_n $ ($ n \geq 3 $) są położone na płaszczyźnie w taki sposób, że każde $ 3 $ z nich mają (co najmniej jeden) punkt wspólny, to wszystkie te figury mają (co najmniej jeden) punkt wspólny.

Zwróćmy uwagę na dwa przypadki szczególne, w których dowód tego twierdzenia jest natychmiastowy.

a) Jeżeli któreś $ 2 $ z figur $ F_1, F_2, \ldots, F_n $ mają tylko jeden punkt wspólny, to punkt ten jest punktem wspólnym wszystkich figur.

b) Jeżeli któraś figura, np. $ F_n $ jest odcinkiem $ AB $, przy czym nie zachodzi przypadek a), to części wspólne figur $ F_1, F_2, F_3, \ldots, F_{n-1} $ z odcinkiem $ AB $ są pewnymi odcinkami $ a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} $. Każde dwa z tych odcinków, na przykład $ a_1 $ i $ a_2 $, mają jakiś punkt wspólny, gdyż figury $ F_1 $, $ F_2 $ i $ AB $ mają według założenia punkt wspólny. Na podstawie twierdzenia udowodnionego wyżej, wszystkie odcinki $ a_1, a_2, \ldots, a_{n-1} $ mają punkt wspólny; punkt ten jest wówczas wspólny wszystkim figurom $ F_1, F_2, \ldots, F_n $.

Jeżeli nie zachodzi żaden z przypadków a) i b), dowód twierdzenia jest nieco dłuższy. Aby ułatwić jego zrozumienie, przyjmiemy, że dane figury wypukłe są kołami; czytelnik zechce jednak sprawdzić, że w rozumowaniu nie skorzystamy z żadnej własności koła prócz tej, że jest ono figurą wypukłą (różną od odcinka). Dowód, który podamy, stosuje się wobec tego do dowolnych figur wypukłych (nie będących odcinkami).

Załóżmy zatem, że mamy na płaszczyźnie $ n $ takich kół $ K_1, K_2, \ldots, K_n $ ($ n \geq 3 $), że każde $ 3 $ z nich mają punkt wspólny. Mamy dowieść, że istnieje punkt wspólny dla wszystkich $ n $ kół.

Zastosujemy metodę indukcji zupełnej. Gdy $ n = 3 $ twierdzenie jest prawdziwe, gdyż teza pokrywa się wtedy z założeniem. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe, gdy $ n = p \geq 3 $ i weźmy pod uwagę $ p + 1 $ kół $ K_1, K_2, \ldots, K_p, K_{p+1} $, z których każde mają jakiś punkt wspólny. Według założenia indukcyjnego koła $ K_1, K_2, \ldots, K_p $ mają jakąś część wspólną (składającą się z jednego lub więcej punktów); jest to pewna figura wypukła $ \Phi $.

Mamy udowodnić, że $ \Phi $ ma jakiś punkt wspólny z kołem $ K_{p+1} $. Przypuśćmy, że $ \Phi $ i $ K_{p+1} $ nie mają żadnego punktu wspólnego. Figury wypukłe $ \Phi $ i $ K_{p+1} $ nie mające punktów wspólnych można wówczas oddzielić od siebie pewną prostą $ s $. Weźmy pod uwagę którekolwiek dwa z kół $ K_1, K_2, \ldots, K_p $ na przykład koła $ K_1 $ i $ K_2 $. Koła te mają punkty wspólne po obu stronach prostej $ s $, na przykład jakikolwiek punkt $ A $ wspólny kołom $ K_1 $, $ K_2 $, $ K_{p+1} $ oraz dowolny punkt $ B $ figury $ \Phi $ (rys. 24).

Stąd wynika, że koła $ K_1 $ i $ K_2 $ przecinają się z prostą $ s $ według odcinków $ a_1 $ i $ a_2 $, które mają część wspólną; to samo dotyczy innych kół. Na prostej $ s $ leży zatem $ p > 2 $ odcinków $ a_1, a_2, \ldots, a_p $, z których każde dwa mają część wspólną. Na mocy twierdzenia udowodnionego poprzednio istnieje zatem punkt wspólny należący do wszystkich tych odcinków, a więc na prostej $ s $ leży punkt figury $ \Phi $, co przeczy temu, że prosta $ s $ oddziela figury $ \Phi $ i $ K_{p+1} $.

Przypuszczenie, że figury $ \Phi $ i $ K_{p+1} $ nie mają punktów wspólnych, doprowadziło do sprzeczności, jest ono więc fałszywe. Istnieje zatem co najmniej jeden punkt wspólny dla wszystkich kół $ K_1, K_2, \ldots, K_p, K_{p+1} $. Na podstawie indukcji matematycznej wnosimy stąd, że twierdzenie nasze jest prawdziwe dla każdego $ n \geq 3 $. Inny dowód tego twierdzenia, zwanego twierdzeniem Helly-Radona, znajduje się w cytowanej poprzednio książce Jagłoma i Bołtiańskiego.

W taki sam sposób można udowodnić analogiczne twierdzenie o figurach wypukłych w przestrzeni trójwymiarowej: Jeżeli każde $ 4 $ spośród $ n $ figur wypukłych mają co najmniej jeden punkt wspólny, to wszystkie te figury mają co najmniej jeden punkt wspólny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź