X OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ M $ powierzchni kuli poprowadzono trzy wzajemnie prostopadłe cięciwy kuli $ MA $, $ MB $, $ MC $. Dowieść, że odcinek łączący punkt $ M $ ze środkiem kuli przecina płaszczyznę trójkąta $ ABC $ w środku ciężkości tego trójkąta.

Rozwiązanie

Płaszczyzna $ AMB $ przecina powierzchnię kuli wzdłuż okręgu, który przechodzi przez punkty $ A $, $ M $ i $ B $, czyli jest okręgiem opisanym na trójkącie prostokątnym $ AMB $; środek tego okręgu leży zatem w środku $ K $ odcinka $ AB $ (rys. 25).

Środek $ O $ kuli leży na prostopadłej wystawionej w punkcie $ K $ do płaszczyzny $ AMB $ po tej samej stronie płaszczyzny $ AMB $ co punkt $ C $. Ponieważ prosta $ MC $ jest prostopadła do płaszczyzny $ AMB $, więc proste $ KO $ i $ MC $ leżą - jako równoległe - w jednej płaszczyźnie. Odcinki $ MO $ i $ KC $ są przekątnymi trapezu $ MKOC $, przecinają się zatem w pewnym punkcie $ S $. Okazało się więc, że odcinek $ MO $ przecina środkową $ KC $ trójkąta $ ABC $. Tak samo przecina on każdą z pozostałych środkowych trójkąta $ ABC $, a ponieważ odcinek $ MO $ nie leży w płaszczyźnie $ ABC $, więc stąd wynika, że przechodzi on przez środek ciężkości trójkąta $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź