X OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że dla dowolnych liczb $ a $ i $ b $ zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^2+b^2}{2} \cdot \frac{a^3+b^3}{2} \leq<br />
\frac{a^6+b^6}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Udowodnimy najpierw, że

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{a + b}{2} \cdot \frac{a^3 + b^3}{2} \leq \frac{a^4 + b^4}{2}.<br />
\]

Nierówność (2) jest równoważna nierówności

\[<br />
(3) \qquad 2(a^4 + b^4) - (a+b) (a^3 + b^3) \geq 0.<br />
\]

Otóż

\[<br />
\begin{split}<br />
2(a^4 + b^4) - (a + b) (a^3 + b^3) &= a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 = \\<br />
&= a^3(a-b) - b^3 (a - b) =\\<br />
&= (a - b) (a^3 - b^3) =\\<br />
&= (a - b)^2 (a^2 + ab + b^2).<br />
\end{split}<br />
\]

Widzimy, że lewa strona nierówności (3) jest iloczynem dwóch czynników nieujemnych; nierówność (3) a zatem, i (2) jest prawdziwa. Udowodnimy z kolei nierówność

\[<br />
(4) \qquad \frac{a^2 + b^2}{2} \cdot \frac{a^4 + b^4}{2} \leq \frac{a^6 + b^6}{2};<br />
\]

jest ona równoważna nierówności

\[<br />
(5) \qquad 2(a^6 + b^6) - (a^2 + b^2) (a^4 + b^4) \geq 0.<br />
\]

Przekształcamy lewą stronę nierówności (5):

\[<br />
\begin{split}<br />
2(a^6 + b^6) - (a^2 + b^2) (a^4 + b^4) &= a^6 - a^4b^2 - a^2b^4 + b^6 =\\<br />
&= (a^4 - b^4) (a^2 - b^2) =\\<br />
&=  (a^2 + b^2) (a^2 - b^2)^2;<br />
\end{split}<br />
\]

otrzymaliśmy, jak poprzednio, iloczyn dwóch czynników nieparzystych, nierówność (5), a zatem i (4) jest więc prawdziwa.

Z nierówności (2) i (4) wynika natychmiast nierówność (1).

Uwaga. Sposób 1 ma tę wyższość nad 2, że metoda w nim użyta może być też zastosowana w wielu innych przypadkach. Mianowicie wzory (2) i (4), które posłużyły do dowodu nierówności (1) są przypadkami szczególnymi następującego twierdzenia:

Jeżeli $ a $ i $ b $ są dowolnymi liczbami, a $ m $ i $ n $ - liczbami naturalnymi tej samej parzystości (tzn. $ m + n = $ liczbie parzystej), to

\[<br />
\nr{\alpha} \frac{a^m + b^m}{2} \cdot \frac{a^n + b^n}{2} \leq<br />
\frac{a^{m+n} + b^{m+n}}{2}.<br />
\]

Dla dowodu zastępujemy powyższą nierówność przez nierówność równoważną

\[<br />
2(a^{m+n} + b^{m+n}) - (a^m + b^m) (a^n + b^n) \geq 0,<br />
\]

którą po przekształceniu lewej strony możemy napisać w postaci

\[<br />
\nr{\beta} (a^m - b^m) (a^n - b^n) \geq 0.<br />
\]

Aby udowodnić nierówność $ (\beta) $, skorzystamy z założenia, że $ m $ i $ n $ są tej samej parzystości i rozróżnimy dwa przypadki:

a) $ m $ i $ n $ są nieparzyste.

Ponieważ potęga o wykładniku nieparzystym rośnie wraz z podstawą potęgi, więc jeśli $ a \geq b $, to $ a^m \geq b^m $ i $ a^n \geq b^n $, a jeśli $ a < b $, to $ a^m < b^m $ i $ a^n < b^n $, zachodzi zatem zawsze nierówność $ (\beta) $. Można to wykazać np. w sposób następujący. Niech $ a > b $; jeżeli $ a > 0 $, $ b \geq 0 $, to $ a^m > b^m $ dla każdego naturalnego $ m $; jeżeli $ a > 0 $, $ b < 0 $, to przy nieparzystym $ m $ jest $ a^m > 0 $, $ b^m < 0 $, więc $ a^m > b^m $; jeżeli $ a \leq 0 $, to $ b < 0 $, więc $ - b > - a \geq 0 $, skąd $ (- b)^m > (- a)^m $, co przy nieparzystym $ m $ daje $ - b^m > - a^m $, zatem $ a^m > b^m $.

b) $ m $ i $ n $ są parzyste, $ m = 2k $, $ n =2l $, gdzie $ k $ i $ l $ są liczbami naturalnymi.

Jeżeli $ a^2 \geq b^2 $, to

\[<br />
(a^2)^k \geq (b^2)^k \textrm{ i } (a^2)^l \geq (b^2)^l,<br />
\]

czyli

\[<br />
a^m \geq b^m \textrm{ i } a^n \geq b^n,<br />
\]

więc zachodzi nierówność $ (\beta) $.

Jeżeli $ a^2 < b^2 $, to

\[<br />
(a^2)^k < (b^2)^k \textrm{ i } (a^2)^l < (b^2)^l,<br />
\]

skąd

\[<br />
a^m < b^m \textrm{ i } a^n < b^n,<br />
\]

więc i w tym przypadku zachodzi nierówność (8).

Zauważmy, że jeżeli $ a $ i $ b $ są liczbami nieujemnymi, to nierówność ($ \alpha $) zachodzi dla dowolnych naturalnych wykładników $ m $ i $ n $. Istotnie, w zakresie liczb nieujemnych każda potęga o wykładniku naturalnym jest funkcją rosnącą podstawy, więc nierówność (8) zachodzi dla dowolnych naturalnych $ m $ i $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź