X OM - III - Zadanie 3

Dany jest ostrosłup o podstawie kwadratowej $ ABCD $ i o wierzchołku $ S $. Znaleźć najkrótszą drogę, której początkiem i końcem jest punkt $ S $ i która przechodzi przez wszystkie wierzchołki podstawy.

Rozwiązanie

Niech $ a $ oznacza długość boku kwadratu $ ABCD $; długości krawędzi bocznych ostrosłupa oznaczymy literami $ k $, $ l $, $ m $, $ n $ w ten sposób, żeby było $ k \leq l \leq m \leq n $.

Każdą drogę zaczynającą się i kończącą w punkcie $ S $ oraz przechodzącą przez wszystkie wierzchołki kwadratu możemy zapisać symbolicznie w postaci

\[<br />
(1) \qquad S \ldots W_1 \ldots W_2 \ldots W_3 \ldots W_4 \ldots S,<br />
\]

gdzie $ W_1, W_2, W_3, W_4 $ oznaczają wierzchołki $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ wzięte w pewnej kolejności. Część drogi od $ S $ do $ W_1 $ nie może być krótsza od krawędzi $ SW_1 $, a część drogi od $ W_4 $ do $ S $ nie może być krótsza od krawędzi $ SW_4 $. Obie te części drogi razem nie mogą mieć długości mniejszej niż suma dwóch najkrótszych krawędzi bocznych, tj. niż $ k + l $. Część drogi od $ W_1 $ do $ W_2 $ nie może być krótsza niż bok kwadratu, tj. niż $ a $; to samo dotyczy drogi od $ W_2 $ do $ W_3 $ i od $ W_3 $ do $ W_4 $. Cała droga (1) nie może być zatem krótsza niż

\[<br />
k + l + 3a.<br />
\]

Jeśli więc znajdziemy taką drogę, której długość równa się właśnie $ k + l+ 3a $, będzie to droga najkrótsza. W tym celu wyznaczymy dwie najkrótsze krawędzie boczne ostrosłupa.

Poprowadźmy $ 4 $ osie symetrii kwadratu $ ABCD $ (rys. 31). Dzielą one płaszczyznę kwadratu na $ 8 $ obszarów kątowych $ \textrm{I}-\textrm{VIII} $. Rzut $ O $ wierzchołka $ S $ ostrosłupa na płaszczyznę kwadratu leży wewnątrz lub na brzegu jednego z tych obszarów, dajmy na to obszaru $ \textrm{I} $. Na podstawie własności symetralnej odcinka zachodzą wówczas nierówności

\[<br />
OA \leq OB \leq OD \leq OC.<br />
\]

Zatem $ OA $ i $ OB $ są dwoma najkrótszymi spośród odcinków $ OA $, $ OB $, $ OC $, $ OD $. W takim razie $ SA $ i $ SB $ są dwiema najkrótszymi krawędziami ostrosłupa (krótszemu rzutowi odpowiada krótsza pochyła), mianowicie $ SA = k $, $ SB = l $, z czego wynika, że droga $ SADCBS $, której długość $ SA + AD + DC + CB + BS = k + l + 3a $ jest poszukiwaną drogą najkrótszą.

Gdy punkt $ O $ leży na półprostej $ MA $, ale nie pokrywa się ze środkiem $ M $ kwadratu, są dwie drogi najkrótsze $ SADCBS $ i $ SABCDS $. Gdy wreszcie punkt $ O $ pokrywa się z punktem $ M $, są cztery takie drogi. Każdą drogę można oczywiście przebiegać w dwóch kierunkach.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź