X OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli równanie kwadratowe

\[<br />
(1) \qquad ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, to co najmniej jedna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest parzysta.

Rozwiązanie

\spos{1} Załóżmy, że liczba $ \frac{p}{q} $, gdzie $ p $ i $ q $ oznaczają liczby całkowite pierwsze względem siebie, jest pierwiastkiem równania (1). Po podstawieniu $ x = \frac{p}{q} $ do równania (1) i pomnożeniu przez $ q^2 $ otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad ap^2 + bpq + cq^2 = 0.<br />
\]

Zauważmy, że suma liczb całkowitych $ ap^2 $, $ bpq $ i $ cq^2 $ może być tylko wtedy równa zeru, gdy każda z tych liczb jest parzysta lub gdy jedna jest parzysta a dwie nieparzyste.

Może zajść jeden z trzech przypadków.

a) $ p $ i $ q $ są liczbami nieparzystymi. Wówczas liczby $ a $, $ b $, $ c $ nie mogą być wszystkie trzy nieparzyste, gdyż wtedy $ ap^2 $, $ bpq $, $ cq^2 $ byłyby liczbami nieparzystymi i równość (2), jak zauważyliśmy, byłaby niemożliwa.

b) $ p $ jest liczbą parzystą, a $ q $ - nieparzystą. W tym przypadku $ ap^2 $ i $ bpq $ są liczbami parzystymi, zatem $ cq^2 $ musi być też z uwagi na (2), liczbą parzystą, a że $ q $ jest nieparzyste, więc $ c $ musi być liczbą parzystą.

c) $ p $ jest liczbą nieparzystą, a $ q $ - parzystą. Analogicznie, jak w punkcie b) wnioskujemy, że w tym przypadku $ a $ musi byc liczbą parzystą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź