X OM - III - Zadanie 6

Dany jest trójkąt, w którym boki $ a $, $ b $, $ c $ tworzą postęp arytmetyczny, a kąty tworzą też postęp arytmetyczny. Znaleźć stosunki boków tego trójkąta.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że trójkąt $ ABC $ spełnia warunki zadania, przy czym $ A \leq B \leq C $, wobec czego $ a \leq b \leq c $. W takim razie

\[<br />
(1) \qquad B = \frac{1}{2} (A + C),<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad b = \frac{1}{2} (a + c).<br />
\]

Z równości (1) oraz z równości $ A + B + C = \pi $ wynika, że $ B= \frac{\pi}{3} $; twierdzenie cosinusów daje wobec tego związek

\[<br />
(3) \qquad b^2 = a^2 + c^2 - ac.<br />
\]

Rugując $ b $ z równań (2) i (3) otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad (a - c)^2 = 0.<br />
\]

Z (2) i (4) wynika, że

\[<br />
a = b = c.<br />
\]

Jeżeli zatem zarówno boki jak kąty trójkąta tworzą postęp arytmetyczny, to trójkąt ten jest równoboczny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź