IX OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli każda z funkcji

\[ (1) \qquad (a_1x + b_1)^2 + (a_2x + b_2)^2, \]
\[ (2) \qquad (b_1x + c_1)^2 + (b_2x + c_2)^2 \]

jest kwadratem funkcji liniowej nie będącej stałą, to funkcja

\[ (3) \qquad (c_1x + a_1)^2 + (c_2x + a_2)^2 \]

jest kwadratem funkcji liniowej.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeśli funkcja $ Ax^2 + 2Bx + C $ jest kwadratem funkcji liniowej $ mx + n $, to jej wyróżnik znika, czyli $ B^2 - AC = 0 $. Istotnie, z tożsamości $ Ax^2 + 2Bx + C = m^2x^2 + 2mnx + n^2 $ wynika, że $ B^2 - AC = (mn)2 - m^2n^2 = 0 $.

Odwrotnie, jeśli $ B^2 - AC = 0 $ i $ C > 0 $, to funkcja $ Ax^2 + 2Bx + C $ jest kwadratem funkcji liniowej. Albowiem gdy $ A \ne 0 $, to z warunków $ B^2 = AC $ i $ C > 0 $ wynika, że $ A > 0 $, zatem

\[<br />
Ax^2+ 2Bx + C = \frac{1}{A} (A^2x^2 + 2ABx + B^2) = \frac{1}{A} (Ax + B)^2 = \left( \frac{Ax+B}{\sqrt{A}} \right)^2,<br />
\]

gdy zaś $ A = 0 $, to $ B= 0 $ i

\[<br />
Ax^2 + 2Bx + C = C = (\sqrt{C})^2.<br />
\]

Funkcję (1) możemy napisać w postaci

\[<br />
(a_1^2 + a_2^2)x^2 + 2 [a_1b_1 + a_2b_2) x + (b_1^2 + b_2^2).<br />
\]

Wyróżnik tej funkcji,

\[<br />
4 [(a_1b_1 + a_2b_2)^2 - (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)] =<br />
- 4 (a_1b_2 - a_2b_1)^2,<br />
\]

jest w myśl powyższej uwagi równy zeru, więc

\[<br />
(4) \qquad a_1b_2 - a_2b_1 = 0.<br />
\]

Podobnie dla funkcji (2)

\[<br />
(5) \qquad b_1c_2 - b_2c_1 = 0.<br />
\]

Rugując z (4) i (5) kolejno $ b_2 $ i $ b_1 $, otrzymujemy

\[<br />
(6) \qquad (a_1c_2 - a_2c_1)b_1 = 0,<br />
\]
\[<br />
(7) \qquad (a_1c_2 - a_2c_1)b_2 = 0.<br />
\]

Ponieważ funkcja (2) nie jest stała, więc przynajmniej jedna z liczb $ b_1 $ i $ b_2 $ jest różna od zera, wobec czego z równań (6) i (7) wynika, że

\[<br />
(8) \qquad a_1c_2 - a_2c_1 = 0.<br />
\]

Z równości (8) wynika, że funkcja (3), tj. funkcja

\[<br />
(c_1^2 + c_2^2) x^2 + 2 (a_1c_1 + a_2c_2) x + (a_1^2 + a_2^2)<br />
\]

ma wyróżnik równy zeru, gdyż wyróżnik ten równa się $ - 4 (a_1c_2 - a_2c_1)^2 $. Wyraz stały $ a_1^2 + a_2^2 $ tej funkcji nie może być równy zeru, gdyż wówczas byłoby $ a_1 = 0 $, $ a_2 = 0 $ wbrew założeniu, że funkcja (1) nie jest stała. W takim razie $ a_1^2 + a_2^2 > 0 $, skąd w myśl uwagi wymienionej na wstępie wnioskujemy, że funkcja (3) jest kwadratem funkcji liniowej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź