IX OM - I - Zadanie 2

Obliczyć sumę

\[<br />
1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + n(n + 1) (n + 2).<br />
\]

Rozwiązanie

Wyraz $ k $-ty danej sumy równa się

\[<br />
k (k + 1) (k + 2) = k^3 + 3k^2 + 2k.<br />
\]

Podstawmy w tej równości za $ k $ kolejno $ 1, 2, 3, \ldots, n $; otrzymamy

\[ 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1, \]
\[ 2 \cdot 3 \cdot 4 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2, \]
\[ 3 \cdot 4 \cdot 5 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3, \]
\[ \ldots \]
\[ n (n + 1) (n + 2) = n3 + 3n^2 + 2n. \]

Dodając te równości stronami, otrzymujemy

\[<br />
s = (1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3) + 3 (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2) + 2 (1 + 2 + 3 + \ldots + n),<br />
\]

gdzie $ s $ oznacza obliczaną sumę. Wiadomo, że

\[ 1   + 2   + 3   + \ldots + n   = \frac{1}{2} n(n+1), \]
\[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2n + 1), \]
\[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2, \]

wobec czego

\[<br />
s = 2 \cdot \frac{1}{2} n (n + 1) + 3 \cdot \frac{1}{6} n(n + 1) (2n + 1) + \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2,<br />
\]

skąd po uproszczeniu otrzymujemy

\[<br />
s = \frac{1}{4} n (n + 1) (n + 2) (n + 3).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź