IX OM - I - Zadanie 3

Od trójkąta $ ABC $ odcięto trzy trójkąty narożne prostymi równoległymi do boków trójkąta i stycznymi do kola wpisanego w ten trójkąt. Dowieść, że suma promieni kół wpisanych w trójkąty odcięte równa się promieniowi koła wpisanego w trójkąt $ ABC $.

Rozwiązanie

Niech $ r $ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt $ ABC $, $ S $ - jego pole, $ r_1 $, $ r_2 $, $ r_3 $ - promienie kół wpisanych w trójkąty narożne, leżące odpowiednio przy wierzchołkach $ A $, $ B $, $ C $, wreszcie $ a $, $ b $, $ c $ - boki trójkąta przeciwległe tym wierzchołkom oraz $ h_a $, $ h_b $, $ h_c $ - wysokości opuszczone na te boki.

Stosunek promienia koła wpisanego w jeden z trójkątów narożnych do promienia koła wpisanego w $ \triangle ABC $ równa się stosunkowi wysokości obu trójkątów, gdyż są to trójkąty podobne. Zważywszy, że wysokości trójkątów narożnych są równe odpowiednio $ h_a - 2r $, $ h_b - 2r $ i $ h_c - 2r $, uzyskujemy proporcję

\[<br />
\frac{r_1}{r} = \frac{h_a - 2r}{h_a},\textrm{ skąd }<br />
\frac{r_1}{r} = 1 - \frac{2r}{h_a} = 1 - \frac{ar}{S}<br />
\]

i analogicznie $ \frac{r_2}{r} = 1 - \frac{br}{S} $, $ \frac{r_3}{r} = 1 - \frac{cr}{S} $.

Dodając te równości, otrzymujemy

\[<br />
\frac{r_1 + r_2 + r_3}{r} = 3 - \frac{(a+b+c)r}{S} = 3 - \frac{2S}{S} =1,<br />
\]

czyli $ r_1 + r_2 + r_3 = r $ c. n. d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź