IX OM - I - Zadanie 4

Dany jest odcinek $ AH $ i na nim punkt $ M $; zbudować trójkąt $ ABC $ w ten sposób, żeby odcinek $ AH $ był jedną z wysokości trójkąta $ ABC $, a punkt $ M $ - środkiem jednej z pozostałych wysokości.

Rozwiązanie

Niech $ AH $ i $ CL $ będą wysokościami trójkąta $ ABC $, przy czym $ CM = ML $ (rys. 4). Odmierzmy na $ MA $ odcinek $ MN = HM $. Trójkąt $ LMN $ jest przystający do trójkąta $ CMH $ ($ ML = CM $, $ MN = HM $, $ \measuredangle LMN = \measuredangle CMH $), zatem $ \measuredangle MNL = \measuredangle MHC = 90^\circ $. W trójkącie prostokątnym $ ALM $ znamy przeciwprostokątną $ AM $ i rzut $ NM $ przyprostokątnej $ LM $ na przeciwprostokątną, trójkąt $ ALM $ potrafimy więc zbudować. Konstrukcja jest następująca.

Rysujemy okrąg o średaicy $ AM $. W punkcie $ N $ odcinka $ AM $ ($ NM = MH $) prowadzimy prostopadłą do prostej $ AH $. Jeśli ta prostopadła przecina okrąg w punkcie $ L $, prowadzimy proste $ AL $, $ LM $ oraz prostą prostopadłą do prostej $ AH $ w punkcie $ H $, która przetnie proste $ AL $ i $ LM $ odpowiednio w punktach $ B $ i $ C $. Trójkąt $ ABC $ spełnią warunki zadania, gdyż według konstrukcji jest $ AH \bot BC $, $ CL \bot AB $, $ \measuredangle CMH = \measuredangle LMN $, skąd $ CM = ML $.

Konstrukcja jest wykonalna, jeśli punkt $ N $ leży wewnątrz okręgu o średnicy $ AM $, tj. jeśli $ MH < AM $ i otrzymuje się dwa rozwiązania symetryczne względem $ AH $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź