IX OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że liczba

\[<br />
53^{103} + 103^{53}<br />
\]

jest podzielna przez $ 78 $.

Rozwiązanie

Zauważmy, że w rozwinięciu potęgi $ (a \pm 1)^n $, gdzie $ a $ i $ n $ oznaczają liczby naturalne, wszystkie wyrazy prócz ostatniego są podzielne przez $ a $, a wyraz ostatni równa się $ (\pm 1)^m $. Wobec tego

\[<br />
53^{103} = (54 - 1)^{103} = m \cdot 54 - 1,<br />
\]
\[<br />
103^{53} = (102 + 1)^{53} = n \cdot 102 + 1.<br />
\]

Stąd

\[<br />
53^{103} + 103^{53} = m \cdot 54 + n \cdot 102.<br />
\]

Liczba $ 53^{103} + 103^{53} $ jest zatem podzielna przez $ 6 $.

Podobnie

\[<br />
53^{103} = (52 + 1)^{103} = p \cdot 52 + 1,<br />
\]
\[<br />
103^{53} = (104 - 1)^{53} = q \cdot 104 - 1,<br />
\]
\[<br />
53^{103} + 103^{53} = p \cdot 52 + q \cdot 104,<br />
\]

liczba $ 53^{103} + 103^{53} $ jest więc podzielna przez $ 52 $.

Z powyższego wynika, że liczba $ 53^{103} + 103^{53} $ jest podzielna przez najmniejszą wspólną wielokrotną liczb $ 6 $ i $ 52 $, tj. przez $ 156 $, zatem również przez $ 78 $.

Udało nam się udowodnić twierdzenie mocniejsze od tego, które było sformułowane w tekście zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź