IX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają warunki

\[<br />
ac - bd \ne 0 \textrm{ i }  (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0,<br />
\]

to funkcja

\[<br />
(1) \qquad y = \frac{(ax + b) (cx + d)}{(bx + a) (dx + c)}<br />
\]

przybiera wszystkie wartości rzeczywiste.

Rozwiązanie

Z nierówności, które spełniają $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ wynika, że równanie (1) jest równoważne równaniu

\[<br />
(bx + a) (dx + c) y = (ax + b) (ex + d),<br />
\]

skąd po uporządkowaniu otrzymujemy równanie

\[<br />
(2) \qquad (ac - bdy)x^2 + (ad + bc) (1 - y)x + (bd - acy) = 0.<br />
\]

Należy udowodnić, że równanie (2) ma dla każdej wartości $ y $ przynajmniej jeden pierwiastek $ x $.

Zależnie od obranej wartości $ y $ rozróżnimy $ 2 $ przypadki:

a) $ ac - bdy \ne 0 $.

Równanie (2) jest wówczas stopnia drugiego i należy wykazać, że jego wyróżnik $ \Delta $ nie jest ujemny. Otóż

\[<br />
\begin{split}<br />
\Delta & = (ad + bc)^2 (1 - y)^2 - 4 (ac - bdy) (bd - acy)<br />
= [(ad + bc)^2 - 4 abcd] y^2 + \\<br />
& - 2 [(ad + bc)^2 - 2a^2c^2 - 2b^2d^2]y + [(ad + bc)^2 - 4 abcd] =\\<br />
& = (ad - bc)^2y^2 + 2 [(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2]y + (ad-bc)^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu współczynnik przy $ y^2 $ równa się

\[<br />
\begin{split}<br />
(ad - bc)^2 & = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ac - bd)^2 + a^2d^2 + b^2c^2 - a^2c^2 - b^2d^2 = \\<br />
& = (ac - bd)^2 + (a^2 - b^2) (d^2 - c^2);<br />
\end{split}<br />
\]

według przyjętych założeń wynika stąd, że

\[<br />
(ad - bc)^2 > 0, \textrm{ czyli }ad - bc \ne 0,<br />
\]

wyróżnik $ \Delta $ jest zatem funkcją kwadratową zmiennej $ y $. Zbadamy znak wyróżnika $ \delta $ tej funkcji. Obliczamy

\[<br />
\begin{split}<br />
\delta &= 4 \{[(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2]^2 - (ad - bc)^4\} =\\<br />
&= 4 [(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2 + (ad - bc)^2] \cdot \\<br />
&\quad \cdot [(a^2 - b^2) (c^2 - d^2) + (ac - bd)^2 - (ad - bc)^2] =\\<br />
&= 4 [2a^2c^2 - 4abcd + 2b^2d^2] [2 (a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2)] =\\<br />
&= 16 (ac - bd)^2 (a^2 - b^2) (c^2 - d^2).<br />
\end{split}<br />
\]

Z przyjętych założeń wynika, że $ \delta < 0 $. Funkcja $ \Delta(y) $ ma zatem stały znak, a ponieważ jej współczynnik przy $ y^2 $ jest dodatni, zatem $ \Delta(y) > 0 $ dla każdego $ y $. Stąd wynika, że równanie (2) ma dla każdego $ y $ spełniającego warunek a) dwa pierwiastki.

b) $ ac - bdy = 0 $.

Wartość $ y $ spełniająca warunek b) istnieje tylko wówczas, gdy $ bd \ne 0 $; jest nią liczba $ y = \frac{ac}{bd} $. Podstawmy tę wartość do równania (2); po pomnożeniu przez mianownik $ bd $ otrzymujemy równanie

\[<br />
(ad + bc) (bd - ac) x + b^2d^2 - a^2c^2 = 0,<br />
\]

które wobec warunku $ ac - bd \ne 0 $ jest równoważne równaniu

\[<br />
(3) \qquad (ad + bc) x + bd + ac = 0.<br />
\]

Współczynnik $ ad + bc $ jest wobec przyjętych założeń różny od zera. Istotnie, gdyby zachodziła równość $ ad + bc = 0 $, to byłoby również $ (ad + bc)^2 = 0 $; dodając tę ostatnią równość stronami do nierówności $ (a^2 - b^2) (c^2 - d^2) < 0 $, otrzymalibyśmy, jak łatwo sprawdzić, nierówność fałszywą $ (ac + bd)^2 < 0 $.

Równanie (3) ma zatem rozwiązanie

\[<br />
x = - \frac{bd + ac}{ad + bc}.<br />
\]

Streśćmy uzyskane wyniki. Funkcja zmiennej $ x $ określona wzorem (1), gdzie współczynniki $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ spełniają założenia podane w tekście zadania, przybiera, w przypadku gdy $ bd \ne 0 $, każdą obraną wartość rzeczywistą $ y $ dwukrotnie, z wyjątkiem wartości $ y = \frac{ac}{bd} $, którą przybiera tylko jeden raz. W przypadku gdy $ bd = 0 $, funkcja (1) każdą wartość bez wyjątku przybiera dwa razy.

Na przykład funkcja $ \frac{(x-3))2x-1)}{(1-3x)(2 - x)} $, której wykres naszkicowany jest na rys. 5, przybiera każdą wartość $ 2 $ razy z wyjątkiem wartości $ \frac{2}{3} $, którą przybiera tylko dla $ x = \frac{5}{7} $.

Funkcja $ \frac{x (x - 2)}{1 - 2x} $ przedstawiona na rys. 6 przybiera każdą wartość bez wyjątku 2 razy.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź