IX OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że jeżeli figura płaska o rozmiarach skończonych ma środek symetrii $ O $ i oś symetrii $ s $, to punkt $ O $ leży na prostej $ s $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie nie jest prawdziwe, tzn. że istnieje figura $ F $ o rozmiarach skończonych mająca oś symetrii $ s $ i nie leżący na prostej $ s $ środek symetrii $ O $. Niech $ OS = d $ (rys. 7) oznacza odległość punktu $ O $ od prostej $ s $ i niech $ A_1 $ będzie dowolnym punktem figury $ F $ oraz $ A_1T = a $ jego odległością od prostej $ s $. Punkt $ A_2 $ symetryczny do $ A_1 $ względem prostej $ s $ należy również do figury $ F $; oznaczenia możemy oczywiście dobrać w ten sposób, żeby punkt $ A_2 $ znajdował się po przeciwnej stronie prostej $ s $ niż punkt $ O $. Weźmy pod uwagę dwa dalsze punkty figury $ F $, mianowicie punkt $ A_3 $ symetryczny do $ A_2 $ względem punktu $ O $ oraz punkt $ A_4 $ symetryczny do $ A_3 $ względem prostej $ s $. Niech $ R $ oznacza punkt przecięcia prostej $ A_3A_4 $ z osią $ s $, a $ U $ - punkt przecięcia prostej $ A_2S $ z prostą $ A_3A_4 $.

Zauważmy, że odcinek $ A_3U $ jest jednokładny do odcinka $ OS $ względem punktu $ A_2 $ w skali $ A_2A_3 \colon A_2O = 2 $, a odcinek $ UR $ - symetryczny do odcinka $ A_2T $ względem punktu $ S $. Wobec tego $ A_3U = 2d $, $ UR = a $

\[<br />
A_3R = a + 2d.<br />
\]

Okazało się, że jeśli na figurze $ F $ znajduje się punkt odległy od osi $ s $ o $ a $, to znajduje się na niej również punkt odległy od tej osi o $ a + 2d $. Przez indukcję wnioskujemy stąd, że na figurze $ F $ istnieje wówczas punkt odległy od osi $ s $ o $ a + 2nd $, gdzie $ n $ oznacza dowolną liczbę naturalną. W takim razie figura $ F $ nie może mieć rozmiarów skończonych (inaczej mówiąc nie może być ograniczona) wbrew założeniu. Zaprzeczenie tezy naszego twierdzenia doprowadziło do sprzeczności, zatem twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź