IX OM - I - Zadanie 8

Jaką figurą płaską jest przekrój sześcianu o krawędzi $ a $ płaszczyzną przechodzącą przez środki trzech krawędzi parami skośnych?

Rozwiązanie

Każda krawędź sześcianu spotyka cztery inne krawędzie, jest równoległa do trzech dalszych, a skośna do czterech pozostałych parami równoległych krawędzi. Jeżeli obierzemy dowolnie jedną krawędź sześcianu $ ABCDA'B'C'D' $
(rys. 8), np. $ AB $, to dwie inne krawędzie skośne do $ AB $ i do siebie możemy dobrać dwoma sposobami: $ AB $, $ CC_1 $, $ A_1D_1 $ lub $ AB $, $ B_1C_1 $, $ DD_1 $.

Ponieważ te dwie trójki krawędzi są symetryczne względem płaszczyzny symetralnej krawędzi $ AB $, więc to samo dotyczy przekrojów sześcianu płaszczyznami przechodzącymi przez środki krawędzi każdej trójki i wystarczy rozpatrzyć jeden z nich. Wyznaczymy przekrój sześcianu płaszczyzną poprowadzoną przez środki $ M $, $ N $, $ P $ krawędzi $ AB $, $ CC_1 $, $ A_1D_1 $.

Zauważmy w tym celu, że odległości każdego z punktów $ M $, $ N $, $ P $ od punktów $ B_1 $ i $ D $ są równe, gdyż każda z nich równa się odcinkowi, który w kwadracie o boku $ a $ łączy środek jednego z boków z jednym z wierzchołków kwadratu przeciwległych temu bokowi.

Płaszczyzna $ MNP $ jest zatem płaszczyzną symetralną odcinka $ B_1D $. Na tejże płaszczyźnie symetralnej leżą również środki $ M_1 $, $ N_1 $, $ P_1 $ krawędzi sześcianu przeciwległych odpowiednio do $ AB $, $ CC_1 $, $ A_1D_1 $, które są też punktami równo odległymi od punktów $ B_1 $ i $ D $. Wobec tego płaszczyzna $ MNP $ przecina wszystkie $ 6 $ ścian sześcianu odpowiednio według odcinków $ MP_1 $, $ P_1N $, $ NM_1 $, $ M_1P $, $ PN_1 $, $ N_1M $; przekrojem sześcianu jest sześciokąt $ MP_1NM_1PN_1 $. Sześciokąt ten jest foremny, gdyż jego boki są sobie równe, a przy tym można na nim opisać koło, albowiem środek $ O $ sześcianu jest równoodległy od wierzchołków sześciokąta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź