IX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że zachodzi nierówność

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + b + d} + \frac{1}{a + c + d}+ \frac{1}{b + c + d} \geq \frac{16}{3(a + b + c + d)},<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ oznaczają liczby dodatnie.

Rozwiązanie

Nierówności (1) nadamy prostszą postać, wprowadzając oznaczenia

\[<br />
b + c + d = x,\<br />
a + c + d = y,\<br />
a + b + d = z,\<br />
a + b + c = u.<br />
\]

Wówczas $ 3(a+b+c + d) = x + y + z + u $ i nierówność (1) przybiera postać

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq<br />
\frac{16}{x + y + z + u},<br />
\]

przy czym $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ z > 0 $, $ u > 0 $. Podamy dwa dowody nierówności (2).

\spos{1} Zauważmy, że gdy $ m > 0 $ i $ n > 0 $, to

\[<br />
(3) \qquad \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq \frac{4}{m + n}.<br />
\]

Istotnie

\[<br />
\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =<br />
\frac{m+n}{mn} =<br />
\frac{(m + n)^2}{mn(m+n)} \geq<br />
\frac{4mn}{mn(m+n)} = \frac{4}{m+n}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}<br />
\textrm{ oraz }<br />
\frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq \frac{4}{z+u}<br />
\]

skąd

\[<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq<br />
4 \left( \frac{1}{x+y} + \frac{1}{z+u} \right) .<br />
\]

Stosując nierówność (3) do prawej strony powyższej nierówności, otrzymujemy

\[<br />
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} + \frac{1}{u} \geq<br />
\frac{16}{x + y + z + u}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź