IX OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
\sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{6\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{2n \pi}{n}       = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

\spos{1} Oznaczmy lewą stronę powyższej równości literą $ S $; ponieważ ostatni jej wyraz $ \sin \frac{2n\pi}{n} $ równa się zeru, więc

\[<br />
S = \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{(2n-4) \pi}{n} + \sin \frac{(2n-2) \pi}{n} = 0.<br />
\]

Zmieniając w sumie $ S $ kolejność wyrazów, mamy

\[<br />
S = \sin \frac{(2n-2)\pi}{n} + \sin \frac{(2n-4)\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} = 0.<br />
\]

Dodając obie równości stronami, otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
S & = \left( \sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{(2n-2)\pi}{n} \right) +<br />
    \left( \sin \frac{4\pi}{n} + \sin \frac{(2n-4)\pi}{n} \right) +<br />
\ldots +  \\<br />
& + \left( \sin \frac{(2n-4) \pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} \right) +<br />
\left( \sin \frac{(2n-2) \pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} \right).<br />
\end{split}<br />
\]

Każde z wyrażeń zawartych w nawiasach równa się zeru, gdyż

\[<br />
\sin \frac{(2n - 2k)\pi}{n} = \sin \left( 2\pi - \frac{2k\pi}{n} \right) = - \sin \frac{2k\pi}{n},<br />
\]

gdzie ($ k = 1, 2, \ldots, n - 1 $).

Zatem $ 2S = 0 $, c. n. d.

Powyższe rozwiązanie posiada prostą interpretację geometryczną. Weźmy pod uwagę wektory jednostkowe (tj. o długości $ 1 $) $ \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \ldots, \overrightarrow{OA_{n-1}}, \overrightarrow{OA_n} $ (rys. 9), tworzące z osią $ OX $ kąty $ \frac{2\pi}{n}, \frac{4\pi}{n}, \ldots, \frac{(2n-2)\pi}{n}, \frac{2n\pi}{n} $.

Wówczas powyższa suma $ S $ równa się sumie miar rzutów tych wektorów na oś $ OY $, tj. sumie miar wektorów $ \overrightarrow{OB_1}, \overrightarrow{OB_2}, \ldots, \overrightarrow{OB_{n-1}}, \overrightarrow{OB_n} $. Otóż te rzuty są parami przeciwne: $ \overrightarrow{OB_{n-1}}= - \overrightarrow{OB_1}, \overrightarrow{OB_{n-2}} = - \overrightarrow{OB_2}, \ldots $ itd., z wyjątkiem rzutu wektora $ \overrightarrow{OA_n} $ oraz - gdy $ n $ jest parzyste - rzutu wektora $ \overrightarrow{OA_{\frac{n}{2}}} $, które się pokrywają z punktem $ O $. Zatem wektor $ S= 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź