IX OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że jeżeli dwa czworokąty mają te same środki boków, to mają równe pola. Wykazać słuszność analogicznego twierdzenia dla wielokątów wypukłych o dowolnej parzystej liczbie boków.

Rozwiązanie

Niech $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ będą odpowiednio środkami boków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ czworokąta $ ABCD $ (rys. 10). Na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta mamy w trójkącie $ ABD $

\[<br />
MQ \parallel BD \textrm{ i } MQ = \frac{1}{2} BD,<br />
\]

a w trójkącie $ BCD $

\[<br />
NP \parallel BD \textrm{ i } NP = \frac{1}{2} BD,<br />
\]

zatem $ MQ = NP $ i $ MQ \parallel NP $, wobec czego czworokąt $ MNPQ $ jest równoległobokiem; prosta $ BD $ dzieli go na równoległoboki $ QMKL $ i $ PNKL $. Pole równoległoboku $ QMKL $ jest połową pola trójkąta $ ABD $, gdyż bok $ MQ $ i wysokość równoległoboku względem tego boku są równe połowie boku $ BD $ i połowie wysokości względem $ BD $ w trójkącie $ ABD $. Tak samo pole równoległoboku $ PNKL $ jest połową pola trójkąta $ BCD $. Zatem pole czworokąta $ ABCD $ jest dwa razy większe od pola równoległoboku $ MNPQ $.

Jeśli zatem dwa czworokąty mają te same środki boków $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $, to pola ich są równe, a mianowicie równe podwójnemu polu równoległoboku $ MNPQ $.

Udowodnimy twierdzenie ogólniejsze, że jeśli dwa wielokąty wypukłe o $ 2n $ bokach mają te same środki boków, to mają równe pola. Zastosujemy indukcję zupełną. Dla $ n = 2 $ twierdzenie jest prawdziwe, załóżmy, że jest ono prawdziwe dla $ n = k - 1 $ ($ k \geq 3 $). Niech $ A_1A_2 \ldots A_{2k} $ i $ B_1B_2 \ldots B_{2k} $ będą dwoma wielokątami wypukłymi o $ 2k $ bokach mającymi te same środki boków $ M_1, M_2, \ldots M_{2k} $, przy czym $ M_i $ oznacza wspólny środek boków $ A_iA_{i+1} $ i $ B_iB_{i+1} $. Na rys. 11 wielokąt $ B_1B_2 \ldots B_{2k} $ nie został narysowany, czytelnik zechce go sobie wyobrazić.

Poprowadźmy w tych wielokątach przekątne $ A_1A_4 $ i $ B_1B_4 $ dzielące je na czworokąty $ A_1A_2A_3A_4 $ i $ B_1B_2B_3B_4 $ oraz wielokąty wypukłe $ A_1A_4 \ldots A_{2k} $ i $ B_1 B_4 \ldots B_{2k} $ o $ 2k - 2 $ bokach. Środek $ N $ odcinka $ A_1A_4 $ jest jednoznacznie wyznaczony przez punkty $ M_1 $, $ M_2 $, $ M_3 $, gdyż jest to czwarty wierzchołek równoległoboku, którego trzema kolejnymi wierzchołkami są punkty $ M_1 $, $ M_2 $, $ M_3 $. Stąd wynika, że ten sam punkt $ N $ jest również środkiem przekątnej $ B_1B_4 $ wielokąta $ B_1B_2\ldots B_{2k} $. Znaczy to, że zarówno oba czworokąty $ A_1A_2A_3A_4 $ i $ B_1B_2B_3B_4 $, jak oba wielokąty $ A_1A_4\ldots A_{2k} $ i $ B_1B_4 \ldots B_{2k} $ mają te same środki boków. W takim razie na podstawie twierdzenia poprzedniego

\[<br />
\textrm{pole } A_1A_2A_3A_4 =  \textrm{pole } B_1B_2B_3B_4,<br />
\]

a na mocy założenia indukcyjnego

\[<br />
\textrm{pole } A_1A_4\ldots A_{2k} =  \textrm{pole } B_1B_4\ldots B_{2k}.<br />
\]

Dodając te równości stronami, otrzymujemy

\[<br />
\textrm{pole } A_1A_2\ldots A_{2k} =  \textrm{pole } B_1B_2\ldots B_{2k}.<br />
\]

Uwaga 1. Przeprowadzony powyżej dowód twierdzenia dla czworokątów stosuje się zarówno do czworokątów wypukłych, jak wklęsłych (por. rys. 10). Natomiast w dowodzie twierdzenia dla wielokątów o parzystej liczbie boków większej niż $ 4 $ korzystaliśmy z założenia, że chodzi o wielokąty wypukłe, a mianowicie opieraliśmy się na tym, że prowadząc w wielokącie wypukłym o $ 2k $ bokach przekątną przez wierzchołki pierwszy i czwarty (liczone w określonym kierunku po obwodzie), podzielimy wielokąt na czworokąt i wielokąt o $ 2k - 2 $ bokach. Powstaje pytanie, czy twierdzenie jest prawdziwe dla wielokątów wklęsłych. Odpowiedź jest twierdząca, ale dowód trzeba poprowadzić inaczej, gdyż istnieją takie wielokąty wklęsłe, w których nie ma przekątnej odcinającej od wielokąta czworokąt, jak np. $ 12 $-kąt gwiaździsty na rys. 12. Dowodu tego nie podajemy, pozostawiając go jako ciekawe, ale trudne zadanie dla czytelnika.

Uwaga 2. Twierdzenie jest prawdziwe również dla wielokątów o nieparzystej liczbie boków. W tym przypadku jest ono oczywiste, gdyż dwa wielokąty o nieparzystej liczbie boków mające te same środki boków muszą się pokrywać. Por. Zadania z Olimpiad Matematycznych, Warszawa 1956, PZWS, zadanie nr 123.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź