IX OM - I - Zadanie 12

Dany jest okrąg o promieniu $ r $ i półproste $ AB $ i $ AC $ styczne do tego okręgu w punktach $ B $ i $ C $. Wyznaczyć taką styczną do danego okręgu, której odcinek zawarty w kącie $ BAC $ jest najkrótszy.

Rozwiązanie

Żądanej prostej należy oczywiście szukać między tymi stycznymi do danego okręgu, które przecinają odcinki $ AB $ i $ AC $, gdyż dla innych stycznych odcinki zawarte w kącie $ BAC $ są większe niż odcinki stycznych równoległych do nich. Niech $ MN $ (rys. 13) będzie odcinkiem prostej stycznej do danego okręgu. Weźmy pod uwagę trójkąt $ MON $. Kąt $ MON $ tego trójkąta równa się połowie $ \measuredangle BOC $, gdyż $ \measuredangle MOH= \measuredangle MOB $, a $ \measuredangle HON = \measuredangle NOC $; ponieważ $ \measuredangle BOC = 180^\circ - \measuredangle A $, więc $ \measuredangle MON = 90^\circ - \frac{1}{2} \measuredangle A $. Wysokość $ OH $ trójkąta $ MON $ równa się promieniowi $ r $ danego okręgu. Zatem w trójkącie $ MON $ kąt przy wierzchołku $ O $ i wysokość z tego wierzchołka mają wielkość stałą i zadanie sprowadza się do zadania następującego: który z trójkątów o danej wysokości i danym kącie przy wierzchołku ma najmniejszą podstawę? Aby na to pytanie odpowiedzieć, wystarczy oprzeć się na konstrukcji trójkąta, gdy mamy dane: podstawę $ l $, kąt przy wiejzchołku $ \alpha $ i wysokość $ h $. Znana ta konstrukcja przedstawiona jest na rys. 14. Gdy $ h $ i $ \alpha $ pozostają bez zmiany, a $ l $ się zmniejsza, wówczas zmniejsza się również promień $ MS $ łuku mieszczącego kąt $ \alpha $. Długość $ l $ jest najmniejsza wówczas, gdy ten łuk jest styczny do prostej $ KL $. Trójkąt jest wówczas równoramienny. A zatem poszukiwaną prostą jest ta styczna do okręgu, dla której $ \triangle MON $ jest równoramienny, tj. która jest prostopadła do osi symetrii $ AO $ danej figury.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź