IX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a $ jest liczbą całkowitą różną od $ 1 $ i od $ - 1 $, to $ a^4 + 4 $ nie jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie

Wyrażenie $ a^4 + 4 $ możemy w następujący sposób przedstawić w postaci iloczynu $ 2 $ czynników:

\[<br />
a^4 + 4 = a^2 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - 4a^2 = (a^2 + 2a + 2) (a^2 - 2a + 2).<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
a^2 + 2a + 2 = (a + 1)^2 + 1,<br />
\]
\[<br />
a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1,<br />
\]

więc gdy $ a \ne 1 $ i $ a \ne - 1 $, to każdy z tych czynników jest dodatni i większy od $ 1 $. Stąd wynika, że gdy $ a $ jest liczbą całkowitą różną od $ 1 $ i od $ - 1 $, to $ a^4 + 4 $ nie jest liczbą pierwszą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź