IX OM - II - Zadanie 2

Sześć równych krążków położono na płaszczyźnie w ten sposób, że ich środki leżą w wierzchołkach sześciokąta foremnego o boku równym średnicy krążków. Ile obrotów wykona siódmy krążek tej samej wielkości toczący się w tej samej płaszczyźnie zewnętrznie po krążkach do chwili powrotu do położenia początkowego?

Rozwiązanie

Niech koło $ K $ o środku $ O $ i promieniu $ r $ toczy się bez ślizgania, po kole o środku $ S $ i promieniu $ R $ (rys. 16) w kierunku zaznaczonym strzałką. Toczenie się bez ślizgania należy rozumieć w ten sposób, że coraz to inny punkt jednego okręgu pokrywa się z coraz to innym punktem drugiego okręgu, przy czym w tym przyporządkowaniu długość łuku między dwoma punktami jednego okręgu równa się długości łuku między odpowiednimi punktami drugiego okręgu.

Weźmy pod uwagę dwa położenia $ K $ i $ K_1 $ koła ruchomego, którym odpowiadają środki $ O $ i $ O_1 $ oraz punkty styczności z kołem nieruchomym $ A $ i $ B_1 $; niech $ B $ będzie tym punktem okręgu koła $ K $, który w nowym położeniu przechodzi w punkt styczności $ B_1 $ i niech $ \alpha $ i $ \beta $ oznaczają miary łukowe kątów $ ASB_1 $ i $ AOB $. Ponieważ długość łuku $ AB_1 $ nieruchomego okręgu równa się długości łuku $ AB $ ruchomego okręgu, więc $ R \alpha = r \beta $. Promień $ OA $ okręgu ruchomego zajmie nowe położenie $ O_1A_1 $, przy czym $ \measuredangle A_1O_1B_1 = \measuredangle AOB = \beta $. Poprowadźmy promień $ O_1A_0 $ równoległy do $ OA $; otrzymamy $ \measuredangle A_0O_1B_1 = \measuredangle ASB_1 = \alpha $. Kąt $ A_0O_1A_1 = \alpha + \beta $ jest równy kątowi, o który obróciło się koło $ K $ przy przejściu z położenia $ K $ do położenia $ K_1 $. Jeżeli $ R = r $, to $ \beta = \alpha $, kąt obrotu wynosi wówczas $ 2 \alpha $.

Po ustaleniu powyższego łatwo odpowiedzieć na postawione pytanie.

Ruchomy krążek $ K $ toczy się kolejno po danych sześciu krążkach; przejście z jednego z nich na drugi ma miejsce w tych położeniach, w których krążek $ K $ jest styczny jednocześnie do dwóch krążków nieruchomych. Niech $ K_1 $ i $ K_2 $ będą tymi położeniami, w których krążek $ K $ jest styczny do krążka nieruchomego $ N $ i do jednego z krążków sąsiednich (rys. 17). Wówczas $ \measuredangle O_1SO_2 = 120^\circ $, więc przy przejściu z położenia $ K_1 $ do położenia $ K_2 $ krążek obróci się o $ 240^\circ $. Do położenia początkowego krążek powróci po $ 6 $ takich obrotach, obróci się więc razem o $ 6 \cdot 240^\circ = 4 \cdot 360^\circ $, tzn. wykona $ 4 $ pełne obroty.

Uwaga. Można rozważać ogólniej toczenie się krążka o promieniu $ r $ po dowolnej krzywej $ C $ (rys. 18). Gdy punkt styczności $ A $ przebiegnie po krzywej łuk $ AB_1 $ o długości $ l $, wówczas kąt, o który obróci się krążek, wynosi $ \alpha + \beta $, gdzie $ \alpha $ równa się kątowi prostych $ OA $ i $ O_1B_1 $, czyli kątowi, jaki tworzą normalne do krzywej $ C $ w punktach $ A $ i $ B $, a $ \beta = \frac{l}{r} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź