IX OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli wielomian $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ o współczynnikach całkowitych przybiera dla $ x = 0 $ i $ x = 1 $ wartości nieparzyste, to równanie $ f(x) = 0 $ nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie

Według założenia liczby $ f(0) = d $ i $ f(1) = a + b + c + d $ są nieparzyste. Wykażemy, że $ f(x) $ jest wówczas dla każdego całkowitego $ x $ liczbą całkowitą nieparzystą. Istotnie, jeśli $ x $ jest liczbą parzystą, to $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ jest sumą liczb parzystych $ ax^3 $, $ bx^2 $, $ cx $ i liczby nieparzystej $ d $. Jeżeli zaś $ x $ jest liczbą nieparzystą, to $ f(x) = a (x^3 - 1) + b(x^2 - 1) + c (x - 1) + (a + b + c + d) $ jest sumą liczb parzystych $ a(x^3 - 1) $, $ b(x^2 - 1) $, $ c(x - 1) $ i liczby nieparzystej $ a + b + c + d $. Zatem $ f(x) \ne 0 $ c. n. d.

Uwaga. Rozumowanie powyższe można zastosować do dowolnego wielomianu

\[<br />
f(x) = a_0x^n + a_2 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n<br />
\]

o współczynnikach całkowitych $ a_0, a_1, \ldots, a_n $.

Gdy $ x $ jest liczbą całkowitą parzystą, to

\[<br />
f(x) - a_n = a_0 x^{n} + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x<br />
\]

jest też liczbą parzystą, zatem liczba $ f(x) $ jest tej samej parzystości, co $ a_n $, czyli $ f(0) $.

Gdy zaś $ x $ jest całkowite nieparzyste, to

\[<br />
f(x) - (a_0 + a_1 + \ldots + a_n) = a_0 (x^{n} - 1) + a_1 (x^{n-1} - 1) + \ldots + a_{n-1} (x - 1)<br />
\]

jest liczbą parzystą, zatem liczba $ f(x) $ jest tej samej parzystości, co liczba $ a_0 + a_1 + \ldots + a_n $ równa $ f(1) $.

Jeśli więc $ f(0) $ i $ f(1) $ są liczbami nieparzystymi, to dla każdego całkowitego $ x $ liczba $ f(x) $ jest nieparzysta, wobec czego $ f(x) \ne 0 $.

Można też powiedzieć, że jeżeli istnieją takie całkowite $ k $ i $ l $, że $ f(2k) $ i $ f(2l + 1) $ są liczbami nieparzystymi, to $ f(x) $ jest dla każdego całkowitego $ x $ liczbą nieparzystą, zatem $ f(x) \ne 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź