IX OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad   (a + b + c)^2 = 3 (ab + bc + ac - x^2 - y^2 - z^2),<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $, $ x $, $ y $, $ z $ oznaczają liczby rzeczywiste, to $ a = b = c $ oraz $ x = y = z = 0 $.

Rozwiązanie

Przekształcając równość (1), otrzymujemy kolejno

\[<br />
a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = 3ab + 3bc + 3ac - 3 (x^2 + y^2 + z^2),<br />
\]
\[<br />
a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2 = - 3 (x^2 + y^2 + z^2),<br />
\]
\[<br />
\frac{1}{2} (a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2) =  3(x^2 + y^2 + z^2),<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b- c)^2] = - 3 (x^2 + y^2 + z^2).<br />
\]

Ponieważ lewa strona równości (2) jest liczbą nieujemną, a prawa - liczbą niedodatnią, więc obie są równe zeru, skąd

\[<br />
a = b = c \textrm{ i }  x = y = z = 0.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź