IX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie dane są dwa okręgi $ C_1 $ i $ C_2 $ oraz prosta $ m $. Znaleźć na prostej $ m $ taki punkt, z którego można do okręgów $ C_1 $ i $ C_2 $ poprowadzić styczne jednakowo nachylone do prostej $ m $.

Rozwiązanie

Jeżeli dane okręgi mają wspólną styczną $ s $, przecinającą prostą $ m $ w punkcie $ S $, to można uważać, że punkt $ S $ odpowiada warunkom zadania, gdyż przez ten punkt przechodzą dwie pokrywające się styczne do danych okręgów jednakowo nachylone do prostej $ m $.

Pomijając to rozwiązanie banalne, poszukamy innych rozwiązań. Przypuśćmy, że przez punkt $ T $ prostej $ m $ przechodzą dwie różne proste $ t_1 $ i $ t_2 $, styczne odpowiednio do okręgów $ C_1 $ i $ C_2 $ i jednakowo nachylone do prostej $ m $, czyli symetryczne względem $ m $ (rys. 26). Okrąg $ C'_1 $, symetryczny do okręgu $ C_1 $ względem $ m $, jest styczny do prostej symetrycznej do stycznej $ t_1 $ okręgu $ C_1 $, tzn. do prostej $ t_2 $. Zatem prosta $ t_2 $ jest wspólną styczną okręgów $ C'_1 $ i $ C_2 $. Rozwiązaniem zadania jest punkt przecięcia $ T $ każdej wspólnej stycznej okręgów $ C'_1 $ i $ C_2 $ z prostą $ m $. Zauważmy, że punkt $ T $ jest jednocześnie punktem przecięcia z prostą $ m $ wspólnej stycznej $ t_1 $ okręgu $ C_1 $ i okręgu $ C'_2 $ symetrycznego do okręgu $ C_2 $ względem prostej $ m $. Zadanie może mieć $ 4 $, $ 3 $, $ 2 $, $ 1 $ lub $ 0 $ rozwiązań.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź