IX OM - III - Zadanie 2

Każdy bok czworokąta wypukłego $ ABCD $ podzielono na trzy równe części; przez te punkty podziału boków $ AB $ i $ AD $, które leżą bliżej wierzchołka $ A $, poprowadzono prostą i analogicznie postąpiono przy wierzchołkach $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że środek ciężkości czworokąta utworzonego przez narysowane proste pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ ABCD $.

Rozwiązanie

Przyjmiemy oznaczenia uwidocznione na rys. 27. Mamy dowieść, że środek ciężkości czworokąta $ ABCD $ pokrywa się ze środkiem ciężkości czworokąta $ MNPQ $, który jest równoległobokiem, gdyż proste $ MN $ i $ QP $ (a także proste $ 14 $ i $ 85 $) są równoległe do prostej $ AC $, a proste $ MQ $ i $ NP $ są równoległe do prostej $ BD $.

Wyznaczymy najpierw środki ciężkości trójkątów $ ABC $ i $ ADC $, na które przekątna $ AC $ dzieli czworokąt $ ABCD $. Środek ciężkości $ S $ trójkąta $ ABC $ leży na środkowej $ BK $ tego trójkąta, przy czym $ BS = \frac{2}{3} BK $; ponieważ trójkąt $ 1B4 $ jest jednokładny do trójkąta $ ABC $ w skali $ 2 \colon 3 $, więc punkt $ S $ leży w środku odcinka $ 14 $. Analogicznie środek ciężkości $ T $ trójkąta $ ADC $ leży w środku odcinka $ 85 $.

Wiadomo, że jeżeli figura składa się z dwóch części (nie zachodzących na siebie), to środek ciężkości tej figury leży na odcinku łączącym środki ciężkości obu części. Środek ciężkości czworokąta $ ABCD $ leży zatem na odcinku $ ST $, a, tym samym na prostej przechodzącej przez środki boków $ MN $ i $ QP $ równoległoboku $ MNPQ $. Zupełnie tak samo musi on leżeć na prostej przechodzącej przez środki boków $ MQ $ i $ NP $ tego równoległoboku. Obie wymienione proste przecinają się w środku równoległoboku $ MNPQ $, który jest oczywiście środkiem ciężkości tego równoległoboku. Istotnie więc środki ciężkości czworokąta $ ABCD $ i równoległoboku $ MNPQ $ pokrywają się.

Uwaga 1. Twierdzenie jest prawdziwe również dla czworokąta wklęsłego; dowód przebiega tak samo jak dla czworokąta wypukłego z tą jedynie różnicą, że jeżeli $ AC $ jest tą przekątną, która leży na zewnątrz czworokąta $ ABCD $ (rys. 28), to środek ciężkości czworokąta $ ABCD $ nie leży na odcinku $ TS $, lecz na jego przedłużeniu poza punkt $ S $.

Uwaga 2. Dowód poprzedni można zmodyfikować, jak następuje. Jeśli $ S $ i $ T $ są środkami ciężkości trójkątów $ ABC $ i $ ADC $, to środek ciężkości czworokąta $ ABCD $ jest tym punktem prostej $ TS $, który dzieli odcinek $ TS $ (w przypadku rys. 27 wewnętrznie, a w przypadku rys. 28 zewnętrznie) odwrotnie proporcjonalnie do pól trójkątów $ ADC $ i $ ABC $. Punkty $ S $ i $ T $ są zarazem środkami ciężkości równoległoboków $ MNVU $ i $ UVPQ $, zatem środek ciężkości równoległoboku $ MNPQ $ dzieli odcinek $ TS $ odwrotnie proporcjonalnie do pól $ UVPQ $ i $ MNVU $. Lecz $ \textrm{pole } UVPQ = \textrm{pole } AC67 = \frac{8}{9} $, $ \textrm{pola } ADC $ i podobnie $ \textrm{pole }MNVU = \textrm{pole } A23C = \frac{8}{9} \textrm{pola } ABC $, zatem stosunek pól trójkątów $ ADC $ i $ ABC $ równa się stosunkowi pól równoległoboków $ UVPQ $ i $ MNVU $. Stąd wynika, że środki ciężkości czworokątów $ ABCD $ i $ MNPQ $ pokrywają się.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź