IX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ k $ jest liczbą naturalną, to

\[<br />
(1) \qquad (1 + x)(1 + x^2) (1 + x^4) \ldots (1 + x^{2^k}) =<br />
1 + x + x^2 + x^3+ \ldots + x^m,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną zależną od $ k $; wyznaczyć $ m $.

Rozwiązanie

Stwierdzamy, że dla $ k = 1, 2, 3, \ldots $ zachodzi wzór (1), przy czym $ m = 1, 3, 7, \ldots $, czyli $ m = 2 - 1, 4 - 1, 8 - 1, \ldots $. Stosujemy indukcję zupełną, oznaczając jak poprzednio lewą stronę równości (1) literą $ P_k $; przypuśćmy, że dla pewnego naturalnego $ k $

\[<br />
P_k = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1} -1}.<br />
\]

Biorąc pod uwagę, że $ P_{k+1} = P_k (1 + x^{2^{k+1}}) $, otrzymujemy stąd

\[<br />
P_{k+1} = (1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1}} -1) (1 + x^{2^{k+1}}).<br />
\]

Według wzoru na sumę postępu geometrycznego

\[<br />
1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1} -1} = \frac{1 - x^{2^{k+1}}}{1-x}.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
P_{k+1} = \frac{(1 - x^{2^{k+1}}) (1 + x^{2^{k+1}})}{1 - x} =<br />
\frac{1 - x^{2^{k+1}}}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{2^{k+1}-1}.<br />
\]

Na mocy indukcji wynika stąd prawdziwość wzoru (1) dla dowolnego naturalnego $ k $, przy czym $ m = 2^{k+1} - 1 $.

Komentarze

czy tu jest pomyłka ?

Powinno chyba być 2^k zamiast 2k.

A w rozwiązaniu: dla k=0,1,2,... otrzymujemy kolejno m=1,3,7,...

Dodaj nową odpowiedź