IX OM - III - Zadanie 5

Udowodnić twierdzenie: W czworościanie płaszczyzna dwusieczna każdego kąta dwuściennego dzieli krawędź przeciwległą na odcinki proporcjonalne do pól ścian czworościanu tworzących ten kąt dwuścienny.

Rozwiązanie

Twierdzenie o płaszczyźnie dwusiecznej w czworościanie można w następujący sposób sprowadzić do twierdzenia o dwusiecznej w trójkącie. Weźmy pod uwagę rzut prostokątny $ A'B'C'D' $ czworościanu $ ABCD $ (rys. 33) na płaszczyznę $ \pi $ prostopadłą do krawędzi $ AB $.

Rzuty $ A' $, $ B' $ punktów $ A $ i $ B $ pokrywają się i rzut czworościanu jest trójkątem $ A'C'D' $, przy czym kąt $ C'A'D' $ jest równy kątowi liniowemu dwuścianu o krawędzi $ AB $. Niech $ M' $ będzie rzutem punktu $ M $, w którym płaszczyzna dwusieczna przecina krawędź $ CD $. Prosta $ A'M' $ jest dwusieczną kąta $ C'A'D' $, gdyż kąty $ C'A'M' $ i $ M'A'D' $ są równe kątom liniowym równych dwuścianów. Wobec tego

\[<br />
\frac{C'M'}{M'D'} = \frac{A'C'}{A'D'}.<br />
\]

Ponieważ rzutowanie nie zmienia stosunku odcinków na prostej, więc

\[<br />
\frac{CM'}{M'D'} = \frac{CM}{MD}.<br />
\]

Odcinki $ A'C' $ i $ A'D' $ są rzutami trójkątów $ ABC $ i $ ABD $, są więc zarazem rzutami wysokości tych trójkątów względem boku $ AB $. Wysokości te, jako równoległe do rzutni $ \pi $, są równe swoim rzutom. A ponieważ pola trójkątów $ ABC $ i $ ABD $ o wspólnym boku $ AB $ mają się do siebie jak odpowiednie wysokości, więc

\[<br />
\frac{\textrm{pole }ABC}{\textrm{pole }ABD} = \frac{A'C'}{A'D'}.<br />
\]

Z powyższych równości otrzymujemy

\[<br />
\frac{CM}{MD} = \frac{\textrm{pole }ABC}{\textrm{pole }ABD}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź