VIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x^5 - y^5 = 992,\\<br />
x - y = 2.<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę wzór

\[<br />
(x - y)^5 = x^5 - 5x^4y + 10x^3y^2 - 10x^2y^3 + 5xy^4 - y^5,<br />
\]

możemy dwumian $ x^5 - y^5 $ przekształcić, jak następuje:

\[<br />
\begin{split}<br />
x^5 - y^5 & = (x - y)^5 + 5x^4y - 10x^3y^2 + 10x^2y^3 - 5xy^4 =\\<br />
& = (x - y)^5 + 5 xy (x^3 - y^3) - 10 x^2y^2 (x - y) =\\<br />
& = (x - y)^5 + 5 xy[(x - y)^3 + 3 xy (x - y)] - 10 x^2y^2 (x - y) =\\<br />
& = (x - y)^5 + 5 xy (x - y)^3 + 5 x^2y^2 (x - y).<br />
\end{split}<br />
\]

Jeżeli w układzie równań (1) lewą stronę pierwszego równania zastąpimy otrzymanym wyżej wyrażeniem, a następnie podstawimy w nim zamiast $ x - y $ liczbę $ 2 $, otrzymamy (po uproszczeniu pierwszego równania) równoważny układ równań

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x^2y^2 + 4 xy - 96 =0,\\<br />
x-y=2.<br />
\end{array}<br />
\]

Ponieważ pierwsze z równań (2), które jest równaniem kwadratowym względem $ xy $, można zastąpić alternatywą $ xy = 8 $ lub $ xy = - 12 $, więc układ równań (2) jest równoważny alternatywie układów równań

\[<br />
(3a )\qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
xy = 8,\\<br />
x - y = 2.<br />
\end{array}<br />
\textrm{ lub }<br />
\nr{3b}<br />
\begin{array}{c}<br />
xy = - 12,\\<br />
x - y = - 2.<br />
\end{array}<br />
\]

Układ (3a) ma $ 2 $ rozwiązania: $ x = 4 $, $ y = 2 $ oraz $ x = -2 $, $ y = -4 $. Układ (3b) ma $ 2 $ rozwiązania: $ x = 1 + i \sqrt{11} $, $ y = - 1 + i \sqrt{11} $ oraz $ x = 1 - i \sqrt{11} $, $ y = -1 - i \sqrt{11} $.

Dany układ równań (1) ma zatem $ 4 $ rozwiązania, z których $ 2 $ są rzeczywiste.

Uwaga 1: Powyższy sposób rozwiązania układu (1) opiera się na tym, że $ x^5 - y^5 $ można w prosty sposób przedstawić w zależności od $ x - y $ i $ xy $. Fakt ten wiąże się z pewnym twierdzeniem o wielomianach, które objaśnimy tutaj ograniczając się do wielomianów dwóch zmiennych. Odpowiednie rozważania dla wielomianów dowolnej liczby zmiennych znajdzie czytelnik np. w książkach: W. Sierpiński - Zasady algebry wyższej, Warszawa-Wrocław 1946, A. Mostowski i M. Stark - Algebra wyższa, cz. II, Warszawa 1954.

Wielomian $ W (x, y) $ zmiennych $ x $ i $ y $ nazywa się symetryczny, jeżeli nie zmienia się, gdy $ x $ zastąpić w nim przez $ y $ i na odwrót, tzn. gdy tożsamościowo $ W (y, x) = W (x, y) $. Na przykład wielomiany $ x + y $ i $ xy $ są symetryczne; nazywają się one wielomianami symetrycznymi podstawowymi. Również sumy jednakowych potęg $ x $ i $ y $, na przykład $ x^2 + y^2 $, $ x^3 + y^3 $, itd. są wielomianami symetrycznymi. Natomiast suma różnych potęg $ x $ i $ y $, na przykład $ x^2 + y^3 $ nie jest wielomianem symetrycznym, gdyż $ x^2 + y^3 $ i $ y^3 + x^2 $ są to dwie różne funkcje.

Zachodzi następujące twierdzenie: Każdy wielomian symetryczny $ W (x, y) $ równa się pewnemu wielomianowi funkcji symetrycznych podstawowych $ x + y $ i $ xy $, tzn. pewnemu wielomianowi $ T (u, v) $, gdzie $ u = x + y $, $ v = xy $, przy czym współczynniki wielomianu $ T (u, v) $ są utworzone ze współczynników wielomianu $ W (x, y) $, jako ich funkcje liniowe o współczynnikach całkowitych, a stopień $ T (u, v) $ jest co najwyżej równy stopniowi $ W (x, y) $.

Aby udowodnić to twierdzenie, rozpatrzymy najpierw sumy jednakowych potęg $ x $ i $ y $. Wykażemy metodą indukcji, że wielomian $ p_n = x^n + y^n $ jest równy wielomianowi stopnia $ n $ zmiennych $ u = x + y $ i $ v = xy $ mającemu współczynniki całkowite. Istotnie, teza ta jest prawdziwa dla $ n = 1 $ i $ n = 2 $, gdyż $ x + y = u $, a $ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2 xy = u^2 - 2v $. Z założenia zaś, że jest ona słuszna dla każdego $ n \leq k $, gdzie $ k \geq 2 $, wynika, że jest ona słuszna i dla $ n = k+1 $, gdyż

\[<br />
\begin{split}<br />
x^{k+1} + y^{k+1} &= (x + y) (x^k + y^k) - x^ky - xy^k =\\<br />
&= (x + y) (x^k + y^k)-xy (x^{k-1} + y^{k-1}) = \\<br />
&= u(x^k + y^k) - v (x^{k-1} + y^{k-1}),<br />
\end{split}<br />
\]

a że wobec przyjętego założenia $ x^k + y^k $ i $ x^{k-1}+ y^{k-1} $ są wielomianami zmiennych $ u $ i $ v $ o współczynnikach całkowitych i stopniach $ k $ i $ k - 1 $, więc $ x^{k+1} + y^{k+1} $ jest takimże wielomianem stopnia $ k + 1 $.

Weźmy następnie pod uwagę wielomian jednorodny stopnia $ n $ uporządkowany według malejących potęg $ x $:

\[<br />
a_0x^n + a_1x^{n-1}y + a_2x^{n-2}y^2 + \ldots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n.<br />
\]

Jeżeli wielomian taki jest symetryczny, to współczynniki wyrazów jednakowo oddalonych od początku i końca wielomianu są równe, tj. $ a_0 = a_n, a_1 = a_{n-1}, \ldots $. Istotnie, zastępując $ x $ przez $ y $ i na odwrót otrzymujemy wielomian

\[<br />
a_0y^n + a_1xy^{n-1} + a_2x^2y^{n-2} + \ldots + a_{n-1}x^{n-1}y + a_nx^n<br />
\]

tożsamościowo równy poprzedniemu, zatem ich różnica, tj. wielomian

\[<br />
(a_0 - a_n)x^n + (a_1 - a_{n-1}) x^{n-1}y + (a_2 - a_{n-2}) x^{n-2} y + \ldots + (a_{n-1} - a_1) xy^{n-1} + (a_n - a_0) y^n<br />
\]

jest tożsamościowo równy zeru; w takim razie wszystkie współczynniki tego wielomianu są równe zeru, tj. $ a_0= a_n, a_1= a_{n-1}, a_2= a_{n-2}, \ldots $ itd.

Stąd wynika, że wielomian symetryczny jednorodny stopnia $ n $ można napisać w postaci

\[<br />
\begin{split}<br />
a_0 (x^n + y^n) + a_1xy (x^{n-2} + y^{n-2}) + a_2x^2y^2 (x^{n-4} + y^{n-4}) + \ldots = \\<br />
= a_0 (x^n + y^n) + a_1v (x^{n-2} + y^{n-2}) + a_2v^2 (x^{n-4} + y^{n-4}) + \ldots.<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ każda z sum potęg występujących w nawiasach jest, jak już wiemy, wielomianem zmiennych $ u= x + y $ i $ v = xy $ o współczynnikach całkowitych, przeto cały powyższy wielomian jest również wielomianem zmiennych $ u $ i $ v $, przy czym jego współczynniki są funkcjami liniowymi o współczynnikach całkowitych wielkości $ a_0, a_1, a_2,\ldots $. Jeżeli $ a_0 = 0 $, stopień tego wielomianu względem $ u $ i $ v $ równa się $ n $, jeśli zaś $ a_0 = 0 $, a pierwszą nieznikającą liczbą ciągu $ a_0, a_1 \ldots $ jest $ a_k $, to stopień ten równa się $ n - k $.

Niech wreszcie $ W (z, y) $ będzie dowolnym wielomianem symetrycznym stopnia $ n $. Łącząc w nim wyrazy tego samego stopnia w grupy, możemy go przedstawić w postaci

\[<br />
W (x, y)= P (x, y) + Q(x,y) + R(x,y) + \ldots,<br />
\]

gdzie $ P (x, y), Q (x, y), R (x, y), \ldots $ są wielomianami jednorodnymi różnych stopni, z których najwyższy równa się $ n $ (stałą uważamy za wielomian jednorodny stopnia zero). Przy zamianie $ x $ na $ y $ i na odwrót, żaden wyraz wielomianu $ W $ nie zmienia swego stopnia, zatem każdy z wielomianów $ P, Q, R, \ldots $ przechodzi sam na siebie, tzn. $ P, Q, R, \ldots $ są wielomianami symetrycznymi.

W takim razie według dowiedzionego wyżej twierdzenia, każdy z wielomianów $ P, Q, R, \ldots $ jest wielomianem zmiennych $ u = x + y $ i $ v = xy $ stopnia $ \leq n $, którego współczynniki są utworzone ze współczynników wielomianu $ W (x, y) $, jako ich funkcje liniowe o współczynnikach całkowitych; to samo dotyczy zatem sumy wielomianów $ P, Q, R, \ldots $, czyli wielomianu $ W (x, y) $, c.n.d.

Powróćmy do poprzedniego zadania. Jeśli oznaczymy $ y = - z $, to $ x^5 - y^5 = x^5 + z^5 $ jest funkcją symetryczną zmiennych $ x $ i $ z $, zatem na mocy twierdzenia, które poznaliśmy, jest wielomianem zmiennych $ x + z $ i $ xz $; stąd zaś wynika, że $ x^5 - y^5 $ jest wielomianem zmiennych $ x - y $ i $ -xy $, a więc również zmiennych $ x - y $ i $ xy $, jak to stwierdziliśmy w rozwiązaniu zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź