VIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego trójkąta zachodzą nierówności

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{2r} < \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} < \frac{1}{r},<br />
\]

gdzie $ r $ oznacza promień koła wpisanego w trójkąt, a $ h_1 $ i $ h_2 $ - dwie wysokości tego trójkąta.

Rozwiązanie

Niech $ S $ oznacza pole trójkąta, $ 2p=a+b+c $ - jego obwód, przy czym $ a $ i $ b $ są tymi bokami trójkąta, na które opuszczono odpowiednio wysokości $ h_1 $ i $ h_2 $. Nierówności (1) są równoważne nierównościom

\[<br />
(2) \qquad \frac{2S}{2r} < \frac{2S}{h_1} + \frac{2S}{h_2} < \frac{2S}{r}.<br />
\]

Ponieważ $ \frac{S}{r} = p = \frac{a+b+c}{2} $, $ \frac{2S}{h_1} = a $, $ \frac{2S}{h_2} = b $, więc nierówności (2) możemy napisać w postaci

\[<br />
(3) \qquad \frac{a + b + c}{2} < a + b < a + b + c.<br />
\]

Wreszcie, odejmując od każdej strony nierówności (3) po $ c $ otrzymujemy nierówności równoważne

\[<br />
(4) \qquad \frac{a + b - c}{2} < a + b - c < a + b.<br />
\]

Otóż nierówności (4) są prawdziwe, gdyż $ a + b - c > 0 $ i $ c > 0 $; w takim razie prawdziwe są też nierówności (1), gdyż są one równoważne nierównościom (4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź