VIII OM - I - Zadanie 5

Jaki warunek powinna spełniać liczbą $ q $, aby istniał trójkąt, którego boki tworzą postęp geometryczny o ilorazie $ q $?

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę trzy odcinki, których długości tworzą postęp geometryczny o ilorazie $ q $. Ponieważ stosunek dwóch odcinków jest liczbą niezależną od jednostki, jaką te odcinki mierzymy, więc jeśli za jednostkę obierzemy pierwszy z rozważanych trzech odcinków, to długości tych odcinków wyrażą się liczbami $ 1 $, $ q $, $ q^2 $. Aby istniał trójkąt, którego boki są odpowiednio równe tym odcinkom, potrzeba i wystarcza żeby suma każdych dwóch spośród tych odcinków była większa od trzeciego odcinka, tj. żeby spełnione były warunki: 1) $ 1 + q^2 > q $, 2) $ q + q^2 > 1 $, 3) $ 1 + q > q^2 $, którym możemy nadać postać:

\[<br />
1)\ q^2 - q + 1 > 0,\quad<br />
2)\ q^2 + q - 1 > 0,\quad<br />
3)\ q^2 - q - 1 < 0.<br />
\]

Warunek 1) jest spełniony dla każdej wartości $ q $, gdyż wyróżnik trójmianu kwadratowego $ q^2 - q + 1 $ jest ujemny, $ \Delta = - 3 $, więc trójmian ma stale wartość dodatnią. Warunek 2) jest spełniony dla wartości $ q $ leżących po za pierwiastkami trójmianu $ q^2 + q - 1 $, tzn. gdy

\[<br />
(4) \qquad<br />
q < \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \textrm{ lub }<br />
q < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.<br />
\]

Warunek 3) jest spełniony dla wartości $ q $ leżących między pierwiastkami trójmianu $ q^2 - q - 1 $, tzn. gdy

\[<br />
(5) \qquad<br />
\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.<br />
\]

Ponieważ $ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $, więc ostatecznie otrzymujemy dla $ q $ warunek następujący:

\[<br />
(6) \qquad<br />
\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} < q < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.<br />
\]

Uwaga. Liczby $ \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} $ i $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $ są odwrotnościami, gdyż ich iloczyn $ \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 $. Stąd wynika, że jeśli pewna liczba $ q $ spełnia warunek (6), to jej odwrotność $ \frac{1}{q} $ też spełnia warunek (6) (rys. 3). Fakt ten był do przewidzenia; jeśli bowiem boki trójkąta wzięte w pewnej kolejności tworzą postęp geometryczny o ilorazie $ q $, to w odwrotnej kolejności dadzą one postęp geometryczny o ilorazie $ \frac{1}{q} $. Długość otrzymanego przedziału dla $ q $ wynosi $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} =1 $. Łatwo sprawdzić, ze liczby $ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $ i $ \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $ są jedyną parą liczb, które są odwrotnościami i których różnica równa się $ 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź