VIII OM - I - Zadanie 6

Znaleźć liczbę czterocyfrową, której dwie pierwsze cyfry są jednakowe, dwie ostatnie cyfry są jednakowe i która jest kwadratem liczby całkowitej.

Rozwiązanie

Jeżeli $ x $ jest liczbą poszukiwaną, to

\[<br />
x = 1000a + 100a + 10b + b,<br />
\]

gdzie $ a $ i $ b $ są liczbami całkowitymi spełniającymi nierówności $ 0 < a \leq 9 $, $ 0 \leq b \leq 9 $. Liczba $ x $ jest podzielna przez $ 11 $, gdyż

\[<br />
x = 1100 a + 11 b = 11 (100 a + b).<br />
\]

Ponieważ $ x $ jest kwadratem liczby całkowitej, więc będąc podzielną przez $ 11 $ musi być podzielna przez $ 11^2 $, zatem liczba

\[<br />
100 a + b = 99 a + (a + b)<br />
\]

jest podzielna przez $ 11 $. Stąd wynika, że $ a + b $ jest podzielne przez $ 11 $, a ponieważ $ 0 < a + b \leq 18 $, więc $ a + b = 11 $. Wobec tego

\[<br />
x = 11^2 (9a + 1),<br />
\]

skąd wnosimy, że $ 9a + 1 $ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej $ m $:

\[<br />
9a + 1 = m^2.<br />
\]

Ponieważ $ 9a + 1 \leq 82 $, więc $ m \leq 9 $.

Według powyższego

\[<br />
9a = (m + 1) (m - 1).<br />
\]

Z równości tej wynika, że iloczyn $ (m + 1) (m - 1) $ jest podzielny przez $ 9 $, a ponieważ najwyżej jedna z liczb $ m + 1 $ i $ m - 1 $ jest podzielna przez $ 3 $, więc jedna z nich jest podzielna przez $ 9 $. Biorąc pod uwagę, że liczba naturalna $ m $ jest mniejsza niż $ 10 $, wnioskujemy stąd, że $ m + 1 = 9 $, zatem $ m = 8 $. W takim razie $ a = 7 $, $ b = 4 $ i poszukiwaną liczbą, jest $ 7744 = (88)^2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź