VIII OM - I - Zadanie 8

W prostopadłościanie $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ dane są długości krawędzi $ AA_1 = a $, $ AB = b $, $ AD = c $. Na ścianie $ A_1B_1C_1D_1 $ obrano punkt $ M $ w odległości $ p $ od boku $ A_1B_1 $, a w odległości $ q $ od boku $ A_1D_1 $ i zbudowano równoległościan o podstawie $ ABCD $ i krawędzi bocznej $ AM $. Obliczyć pole ścian bocznych tego równoległościanu.

Rozwiązanie

Przyjmując oznaczenia wskazane na rysunku $ 5 $ obliczamy pole równoległoboku $ AMQD $ będącego ścianą równoległościanu $ ABCDMNPQ $.

Równoległbbok $ AMQD $ i prostokąt $ AKLD $ mają wspólną podstawę $ AD $ i wysokość $ AK $, zatem

\[<br />
\textrm{pole }AMQD = \textrm{pole }AKLD = AK \cdot KL.<br />
\]

Lecz $ AK = \sqrt{AA_1^2 + A_1K^2} = \sqrt{a^2 + q^2},\  KL = AD = c $; stąd

\[<br />
\textrm{pole }AMQD = c \sqrt{a^2 + q^2}.<br />
\]

Analogicznie obliczymy, że pole $ AMNB = b \sqrt{a^2 + p^2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź