VIII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów wpisanych w dane koło kwadrat ma największe pole.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie czworokątem wpisanym w koło o środku $ O $ i promieniu $ r $; oznaczmy kąty $ AOB $, $ BOC $, $ COD $, $ DOA $ odpowiednio literami $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $. Jeżeli środek koła $ O $ leży wewnątrz czworokąta, to (rys. 6 a)

\[<br />
\textrm{pole }ABCD = \textrm{pole }AOB + \textrm{pole }BOC +<br />
\textrm{pole }COD + \textrm{pole }DOA,<br />
\]

czyli

\[<br />
\textrm{pole }ABCD = \frac{r^2}{2} (\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma + \sin \delta),<br />
\]

zatem

\[<br />
\textrm{pole } ABCD \leq 2r^2,<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $ \sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \sin \delta = 1 $, tzn. gdy $ \alpha = \beta = \gamma= \sigma = 90^\circ $, co oznacza, że czworokąt $ ABCD $ jest kwadratem.

Jeżeli środek koła leży na zewnątrz czworokąta $ ABCD $ lub na jego obwodzie (rys. 6b), to pole czworokąta jest mniejsze od pola półkola $ \frac{1}{2}<br />
\pi r^2 $, a więc tym bardziej mniejsze od $ 2r^2 $, tj. od pola kwadratu wpisanego w dane koło.

Uwaga. Twierdzenie, które udowodniliśmy wyżej, jest przypadkiem szczególnym twierdzenia:

Ze wszystkich wielokątów wpisanych w dane koło i mających daną ilość $ n $ boków największe pole ma wielokąt foremny.

Przypuśćmy, że wpisany w koło wielokąt $ ABCD \ldots $ (rys. 7) o $ n $ bokach nie jest foremny, niech na przjddad $ AB < BC $. Jeśli $ M $ jest środkiem łuku $ ABC $, to trójkąt $ AMC $ ma względem boku $ AC $ większą wysokość niż trójkąt $ ABC $, zatem $ \textrm{pole }AMC > \textrm{pole }ABC $. W takim razie pole wielokąta $ AMCD \ldots $ który ma też $ n $ boków jest większe od pola wielokąta $ ABCD \ldots $. Okazało się więc, że wielokąt nieforemny $ ABCD\ldots $ nie może być poszukiwanym wielokątem o największym polu. Czy stąd wynika, że owym największym wielokątem jest wielokąt foremny? Wnioskowanie takie byłoby błędne, gdyż nie wiadomo jeszcze, czy wielokąt o największym polu rzeczywiście istnieje. Powyższe rozumowanie stwierdza tylko to, że jeżeli istnieje taki wielokąt o $ n $ bokach wpisany w dane koło, który ma największe pole, to wielokąt ten jest foremny. Trzeba jeszcze dowieść, że wielokąt foremny ma istotnie większe pole, niż każdy inny wielokąt o tej samej liczbie boków wpisany w to samo koło. Niech $ ABCD\ldots $ (rys. 8) będzie wielokątem nieforemnym o $ n $ bokach wpisanym w dane koło. Jeżeli koło rozetniemy na $ n $ wycinków: $ AOB, BOC, COD, \ldots $, to możemy z tych wycinków znowu złożyć koło układając je w dowolnej kolejności jeden obok drugiego. Cięciwy tych wycinków utworzą znowu wielokąt o polu równym polu wielokąta pierwotnego $ ABCD\ldots $ i o takich samych bokach; możemy przyjąć, że dwa dowolnie obrane boki wielokąta $ ABCD $ w nowym wielokącie ze sobą sąsiadują. Niech $ a_n $ oznacza bok $ n $-kąta foremnego wpisanego w dane koło. Jeżeli wielokąt $ ABCD\ldots $ nie jest foremny, to musi on mieć jakiś bok dłuższy niż $ a_n $, a zarazem jakiś bok krótszy niż $ a_n $; na mocy poprzedniego objaśnienia możemy przyjąć, że np. $ AB > a_n $, a $ BC < a_n $. Niech $ M $ będzie takim punktem łuku $ ABC $, że $ AM = a_n $. Wówczas pole trójkąta $ AMB $ jest większe od pola trójkąta $ CMB $, gdyż oba trójkąty mają wspólną podstawę $ MB $, a $ AM > BC $, więc punkt $ A $ leży dalej od prostej $ MB $ niż punkt $ C $. Zatem $ \textrm{pole }AOM + \textrm{pole }MOC = \textrm{pole }AOB + \textrm{pole BOC} + \textrm{pole }AMB - \textrm{pole }CMB > \textrm{pole }AOB + \textrm{pole }BOC $. Stąd wynika, że pole wielokąta $ AMCD\ldots $ o $ n $ bokach, który otrzymujemy, zastępując w wielokącie $ ABCD\ldots $ wierzchołek $ B $ punktem $ M $, jest większe od pola wielokąta $ ABCD\ldots $, przy czym wielokąt $ AMCD\ldots $ ma co najmniej jeden bok równy $ a_n $. Jeżeli wielokąt $ AMCD\ldots $ nie jest foremny, to możemy założyć, że np. $ CD > a_n $, $ DE < a_n $ i zastąpić wierzchołek $ D $ takim punktem $ N $ łuku $ CDE $, że $ CN = a_n $. Otrzymany wielokąt $ AMCNE \ldots $ ma pole większe niż wielokąt $ AMCD\ldots $ więc tym bardziej większe niż wielokąt $ ABCD\ldots $, przy czym ma on co najmniej dwa boki równe $ a_n $. Jeśli nie jest on jeszcze foremny, postępujemy w opisany sposób dalej; najpóźniej za $ (n - 1) $-szym razem dojdziemy do wielokąta o polu większym niż pole $ ABCD\ldots $, którego wszystkie boki są równe $ a_n $, tj. do wielokąta foremnego. Twierdzenie zostało więc udowodnione.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź