VIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że:

1) $ n $ prostych leżących na płaszczyźnie, z których każde dwie przecinają się, ale żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na $ \frac{1}{2} (n^2 + n + 2) $ części;

2) $ n $ płaszczyzn, z których każde trzy mają jeden i tylko jeden punkt wspólny, ale żadne cztery nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli przestrzeń na $ \frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6) $ części.

Rozwiązanie

1. Zastosujemy indukcję zupełną. Jedna prosta dzieli płaszczyznę, na $ 2 $ części. Ponieważ wyrażenie $ \frac{1}{2} (n^2 + n + 2) $ ma dla $ n = 1 $ wartość $ \frac{1}{2} (1^2 + 1 + 2) = 2 $, więc twierdzenie jest w przypadku $ n =1 $ prawdziwe. Dajmy na to, że jest ono prawdziwe, gdy $ n = k $ i weźmy pod uwagę $ k + 1 $ prostych $ l_1, l_2,\ldots, l_k, l_{k+1} $ płaszczyzny spełniających założenie twierdzenia. Proste $ l_1, l_2,\ldots, l_k $ dzielą wówczas płaszczyznę na $ \frac{1}{2} (k^2 + k  + 2) $ obszarów. Prosta $ l_{k+1} $ przecina według założenia proste $ l_1, l_2,\ldots, l_k $ odpowiednio w punktach $ A_1, A_2, \ldots, A_k $ (rys. 10), które są wszystkie różne; istotnie, gdyby np. punkty $ A_1 $ i $ A_2 $ pokrywały się, to przez ten sam punkt przechodziłyby $ 3 $ proste $ l_1 $, $ l_2 $ i $ l_{k+1} $ wbrew założeniu. Punkty $ A_1, A_2, \ldots, A_k $ dzielą prostą $ l_{k+1} $ na $ k + 1 $ części; każda z tych części leży w jednym z obszarów płaszczyzny wyznaczonych przez proste $ l_1, l_2,\ldots, l_k $ i rozcina ten obszar na $ 2 $ części. Zatem, przez dołączenie prostej $ l_{k+1} $ do prostych $ l_1, l_2,\ldots, l_k $ liczba obszarów, na jakie płaszczyzna zostaje rozcięta wzrasta o $ k + 1 $. Ilość obszarów wyznaczonych przez proste $ l_1, l_2,\ldots, l_k, l_{k+1} $ wynosi więc

\[<br />
\frac{k^2 + k + 2}{2} + k + 1 = \frac{(k + 1)^2 + (k + 1) + 2}{2},<br />
\]

a to oznacza, że nasze twierdzenie jest prawdziwe, gdy $ n = k + 1 $.

Przez indukcję wnosimy stąd, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

2. Dowód drugiego twierdzenia jest analogiczny. Jedna płaszczyzna dzieli przestrzeń na $ 2 $ części, a ponieważ wyrażenie $ \frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6) $ ma dla $ n = 1 $ wartość $ 2 $, więc twierdzenie jest w przypadku $ n = 1 $ prawdziwe. Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla $ n = k $ i weźmy pod uwagę $ k + 1 $ płaszczyzn $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k, \alpha_{k+1} $ spełniających założenie twierdzenia. Płaszczyzny $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k $, dzielą wówczas przestrzeń na $ \frac{1}{6} (k^3 + 5k + 6) $ obszarów. Płaszczyzna $ \alpha_{k+1} $ przecina zgodnie z założeniem płaszczyzny $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k $ odpowiednio według prostych $ l_1, l_2, \ldots, l_k $; przy czym łatwo stwierdzić, że te proste są wszystkie różne, przecinają się parami, ale żadne $ 3 $ z nich nie przechodzą przez jeden punkt. Istotnie, dwie z tych prostych, na przykład proste $ l_1 $ i $ l_2 $, nie mogą być równoległe ani się pokrywać, gdyż według założenia płaszczyzny $ \alpha_1 $, $ \alpha_2 $ i $ \alpha_{k+1} $ mają jeden i tylko jeden punkt wspólny. Trzy z prostych, na przykład $ l_1 $, $ l_2 $, $ l_3 $ nie mogą przechodzić przez jeden punkt, gdyż byłby to punkt wspólny płaszczyzn $ \alpha_1 $, $ \alpha_2 $, $ \alpha_{k+1} $, co przeczyłoby założeniu. Proste $ l_1, l_2, \ldots, l_k $ spełniają więc założenia twierdzenia 1°, dzielą zatem płaszczyznę $ \alpha_{k+1} $ na $ \frac{1}{2} (k^2 + k + 1) $ części. Każda z tych części płaszczyzny $ \alpha_{k+1} $ leży w jednym z obszarów przestrzeni wyznaczonych przez płaszczyzny $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k $ i rozcina go na $ 2 $ części. Przez dołączenie płaszczyzny $ \alpha_{k+1} $ do płaszczyzn $ \alpha_1, \alpha_2,         \ldots, \alpha_k $ liczba obszarów, na jakie rozcięta zostaje przestrzeń, zwiększa się więc o $ \frac{1}{2} (k^2 + k + 1) $. Ilość obszarów wyznaczonych przez płaszczyzny $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots \alpha_k, \alpha_{k+1} $ wynosi zatem

\[<br />
\frac{k^3 + 5k + 6}{6} + \frac{k^2 + k + 2}{2} =<br />
\frac{(k + 1)^3 + 5 (k + 1) + 6}{6},<br />
\]

co oznacza, że twierdzenie 2° jest prawdziwe, gdy $ n = k + 1 $; na mocy indukcji jest ono zatem prawdziwe dla dowolnego naturalnego $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź