VIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczfią całkowitą, to

\[<br />
\frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30}<br />
\]

jest też liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br />
\frac{n^5}{120} - \frac{n^3}{24} + \frac{n}{30} =<br />
\frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120} = \frac{n (n^2 - 1) (n^2 - 4)}{120}<br />
\]

więc wystarczy udowodnić, że liczba $ N = n (n^2 - 1) (n^2 - 4) $ jest podzielna przez $ 120 $. Otóż liczba $ N $ równa $ (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n+2) $ jest iloczynem pięciu kolejnych liczb naturalnych. Wśród takich liczb co najmniej dwie są parzyste, co najmniej jedna jest podzielna przez $ 4 $, co najmniej jedna jest podzielna przez $ 3 $, jedna zaś jest podzielna przez $ 5 $. Liczba $ N $ jest więc na pewno podzielna przez $ 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 120 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź