VIII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ M $, $ N $, $ P $ są spodkami wysokości trójkąta ostrokątnego $ ABC $, to stosunek obwodu trójkąta $ MNP $ do obwodu trójkąta $ ABC $ jest równy stosunkowi promienia kola wpisanego w trójkąt $ ABC $ do promienia koła opisanego na trójkącie $ ABC $.

Rozwiązanie

Przyjmując oznaczenia wskazane na rys. 14 wykażemy najpierw, że $ \measuredangle 1 = \measuredangle 2 $. Istotnie, wierzchołki czworokąta $ ANHP $ leżą na okręgu, gdyż kąty tego czworokąta przy wierzchołkach $ N $ i $ P $ są proste. Zatem $ \measuredangle 1 = \measuredangle AHP $, jako kąty wpisane, oparte na tej samej cięciwie $ AP $. Analogicznie $ \measuredangle 2 = \measuredangle CHM $. Lecz $ \measuredangle AHP= = \measuredangle CHM $, gdyż są to kąty wierzchołkowe; zatem $ \measuredangle 1 = \measuredangle 2 $.

W taki sam sposób stwierdzimy, że $ \measuredangle 3 = \measuredangle 4 $.

Niech teraz $ M' $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ M $ względem prostej $ AC $, a $ M'' $ - punktem symetrycznym do tegoż punktu $ M $ względem prostej $ AB $. Punkty $ M' $, $ N $, $ P $, $ M'' $ leżą na jednej prostej, gdyż $ \measuredangle M'NC = \measuredangle 2 = \measuredangle 1 $, a $ \measuredangle M''PB = \measuredangle 4 = \measuredangle 3 $. Wobec tego długość odcinka $ M'M'' $ równa się obwodowi trójkąta $ MNP $. Zauważmy, że w trójkącie $ AM'M'' $ każdy z boków $ AM' $ i $ AM'' $ równa się wysokości $ AM = h_a $ trójkąta $ ABC $, a $ \measuredangle M'AM'' = \measuredangle M'AM + \measuredangle MAM'' = 2 \cdot \measuredangle CAM + 2 \cdot \measuredangle MAB = 2 \cdot \measuredangle A $. Stosując do $ \triangle AM'M'' $ twierdzenie cosinusów otrzymujemy

\[<br />
M'M''^2 = h^2_a + h^2_a- 2h_ah_a \cos^2A = = 2h_a^2 (1 - \cos 2A) =<br />
4 h_a^2 \sin^2 A,<br />
\]

stąd

\[<br />
M'M'' = 2h_a \sin A = \frac{2a h_a \sin A}{a} = \frac{4S \sin A}{2R \sin A} = \frac{2pr}{R},<br />
\]

zatem

\[<br />
\frac{\textrm{obwód } \triangle MNP}{\textrm{obwód } \triangle ABC} = \frac{r}{R}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź