VIII OM - II - Zadanie 3

Dany jest sześcian o krawędzi $ AB = a $ cm. Punkt $ M $ odcinka $ AB $ jest odległy od przekątnej sześcianu, skośnej względem $ AB $, o $ k $ cm. Znaleźć odległość punktu $ M $ od środka $ S $ odcinka $ AB $.

Rozwiązanie

Jeżeli wierzchołki sześcianu oznaczymy jak na rys. 15, przekątnymi sześcianu skośnymi do krawędzi $ AB $ będą $ A_1C $ i $ B_1D $. Są one do siebie symetryczne względem płaszczyzny symetralnej odcinka $ AB $, wobec czego jest obojętne, o której z nich jest mowa w zadaniu. Niech na przykład $ MN = k $ będzie odległością punktu $ M $ od przekątnej $ A_1C $.

Niech $ MS = x $, wówczas

\[<br />
A_1M = \sqrt{AM^2 + AA_1^2} =<br />
\sqrt{ \left( \frac{a}{2} - x \right)^2 + a^2} =<br />
\sqrt{ x^2 - ax + \frac{5a^2}{4}},<br />
\]
\[<br />
MC = \sqrt{MB^2 + BC^2} =<br />
\sqrt{ \left( \frac{a}{2} + x \right)^2 + a^2} =<br />
\sqrt{ x^2 + ax + \frac{5a^2}{4}},<br />
\]

$ A_1C = a \sqrt{3} $, pole $ S $ trójkąta $ A_1MC $ równa się $ \frac{1}{2} A_1C \cdot MN = \frac{1}{2}ak \sqrt{3} $. Stosując do $ \triangle A_1MC $ wzór Herona w postaci użytej w zadaniu 14 (sposób 1), otrzymujemy równanie

\[<br />
\begin{split}<br />
& 2<br />
\left( x^2 - ax + \frac{5}{4}a^2 \right)<br />
\left( x^2 + ax + \frac{5}{4}a^2 \right) +<br />
6a^2 \left( x^2 - ax + \frac{5}{4}a^2 \right) + \\<br />
& + 6a^2 \left. \left( x^2 + ax + \frac{5}{4}a^2 \right) -  \right[<br />
\left( x^2 - ax + \frac{5}{4}a^2 \right) +<br />
\left. \left( x^2 + ax + \frac{5}{4}a^2 \right) + 9a^4 \right] = \\<br />
& = 16 \cdot \left( \frac{1}{2} ak \sqrt{3}\right)^2 ,<br />
\end{split}<br />
\]

a stąd, po uproszczeniu, równanie

\[<br />
4x^2 = 6k^2 - 3a^2.<br />
\]

Równanie to ma pierwiastki rzeczywiste, o ile spełniony jest warunek $ k \geq \frac{a}{\sqrt{2}} $; wówczas pierwiastkami równania są liczby

\[<br />
x =  \frac{1}{2} \sqrt{6k^2 - 3a^2} \textrm{ i }<br />
x = -\frac{1}{2} \sqrt{6k^2 - 3a^2}<br />
\]

odpowiadające dwóm symetrycznym położeniom punktu $ M $ po obu stronach punktu $ S $ na prostej $ AB $. Ponieważ punkt $ M $ leży na odcinku $ AB $, więc $ |x| \leq \frac{a}{2} $; $ k $ powinno zatem spełniać warunek

\[<br />
k \leq \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.<br />
\]

Uwaga. Na rzucie równoległym $ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ sześcianu (rys. 15) punkt $ N $ można znaleźć w sposób następujący. Na przedłużeniu $ BA $ odmierzamy $ A(C) = a \sqrt{2} $, wówczas $ A_1(C) = a\sqrt{3} $ przedstawia przekątną sześcianu w naturalnej wielkości. Budujemy trójkąt $ A_1(C) (M) $, w którym $ A_1(M) = AM $ a $ (C) (M) = MB_1 $, tzn. $ (C) (M) $ przedstawia odcinek $ MC $ w naturalnej wielkości. Wobec tego trójkąt $ A_1(C) (M) $ przedstawia trójkąt $ A_1CM $ w naturalnej wielkości. Następnie prowadzimy $ (M) (N) \bot A_1(C) $ i dzielimy odcinek $ A_1C $ w stosunku $ A_1(N) \colon (N) (C) $ prowadząc $ (N)N $ równolegle do $ (C)C $. Otrzymany punkt $ N $ jest punktem żądanym, gdyż rzutowanie równoległe nie zmienia stosunku podziału odcinka.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź