VIII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ c > 0 $, to

\[<br />
\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c+ a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczamy

\[<br />
b + c = u,\    c + a = v,\    a + b = w,<br />
\]

wówczas

\[<br />
a = \frac{v + w - u}{2},\<br />
b = \frac{u + w - v}{2},\<br />
c = \frac{u + v - w}{2},<br />
\]

zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{a}{b+c} & + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} =<br />
\frac{1}{2} \left( \frac{v + w - u}{u} + \frac{u + w - v}{v} + \frac{u + v - w}{w} \right)=\\<br />
& = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{u}{v} + \frac{v}{u} \right) +<br />
\left( \frac{v}{w} + \frac{w}{v} \right) + \left( \frac{w}{u} + \frac{u}{w} \right) - 3 \right] \geq \frac{1}{2}(2 + 2 + 2 - 3) = 1<br />
\end{split}<br />
\]

W powyższym rachunku korzystaliśmy z tego, że gdy $ x > 0 $ i $ y > 0 $, to

\[<br />
\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} - 2 + 2 =<br />
\frac{(x - y)^2}{xy} + 2 \geq 2.<br />
\]

Uwaga. Dowiedzione twierdzenie jest przypadkiem szczególnym twierdzenia następującego:

Jeżeli $ a_1 > 0, a_2 > 0, \ldots, a_n > 0 $, to

\[<br />
\frac{a_1}{a_2 + a_3 + \ldots + a_n} +<br />
\frac{a_2}{a_1 + a_3 + \ldots + a_n} +<br />
\ldots +<br />
\frac{a_n}{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}} \geq \frac{n}{n-1}.<br />
\]

Aby tego dowieść zastosujemy takie samo przekształcenie jak poprzednio. Wprowadzając oznaczenia

\[<br />
u_1 = a_2 + a_3 + \ldots + a_n,\<br />
u_2 = a_1 + a_3 + \ldots + a_n,\<br />
\ldots,\<br />
a_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}<br />
\]

otrzymujemy

\[<br />
a_1 + a_2 +  \ldots + a_n = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1},<br />
\]

a stąd

\[ a_1 = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1} - u_1 =<br />
\frac{u_2 + \ldots + u_n - (n-2)u_1}{n-1}, \]
\[ a_2 = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1} - u_2 =<br />
\frac{u_1 + u_3 + \ldots + u_n - (n-2)u_2}{n-1}, \]
\[ \ldots \]
\[ a_1 = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_n}{n-1} - u_1 =<br />
\frac{u_2 + \ldots + u_n - (n-2)u_1}{n-1}, \]
\[ a_n = \frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1}}{n-1} - u_n =<br />
\frac{u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} - (n-2)u_n}{n-1}, \]

zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
& \frac{a_1}{a_2 + a_3 + \ldots + a_n} +<br />
\frac{a_2}{a_1 + a_3 + \ldots + a_n} + \ldots +<br />
\frac{a_n}{a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1}} = \\<br />
& = \frac{1}{n-1} \left[<br />
\left( \frac{u_1}{u_2} + \frac{u_2}{u_1} \right) +<br />
\left( \frac{u_1}{u_3} + \frac{u_3}{u_1} \right) +<br />
\ldots +<br />
\left( \frac{u_{n-1}}{u_n} + \frac{u_n}{u_{n-1}} \right) - n(n-2) \right] \geq \\<br />
& \geq \frac{1}{n-1} [\underbrace{2 + 2 + \ldots + 2}_{\frac{1}{2}n(n-1) \textrm{ razy}} - n (n - 2)] = \frac{1}{n-1} (n^2 - n - n^2 + 2n) = \frac{n}{n-1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź