VIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli czworokąt wypukły ma tę własność, że istnieje okrąg styczny do jego boków (tzn. okrąg wpisany), a także okrąg styczny do przedłużeń jego boków (okrąg dopisany), to przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że czworokąt wypukły $ ABCD $ (rys. 17) spełnia wymienione wyżej warunki.

1. Z założenia, że istnieje okrąg wpisany w czworokąt, wynika, że sumy boków przeciwległych czworokąta są równe, tj.

\[<br />
(1) \qquad AB + DC = AD + BC.<br />
\]

2. Z założenia, że istnieje okrąg styczny do przedłużeń boków czworokąta wynika według oznaczeń przyjętych na rys. 17.

\[<br />
\begin{array}{c}<br />
(2) \qquad<br />
AB = AM- BM,\\<br />
BC = BN - CN,\\<br />
DC = DP - CP,\\<br />
AD= AQ - DQ.<br />
\end{array}<br />
\]

Ze związków (2) otrzymujemy

\[<br />
AB - DC = AM - BM - DP + CP,<br />
\]
\[<br />
AD - BC = AQ - DQ - BN + CN,<br />
\]

a ponieważ według znanego twierdzenia o stycznych do okręgu

\[<br />
AM = AQ,\   BM = BN,\   CN = CP,\   DP = DQ,<br />
\]

więc

\[<br />
(3) \qquad AB - DC = AD - BC.<br />
\]

Dodajemy i odejmujemy (1) i (3) stronami; po skróceniu przez $ 2 $ otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad AB = AD,\      BC = DC.<br />
\]

Z równości (4) wynika, że czworokąt $ ABCD $ jest deltoidem. Ponieważ przekątne deltoidu są prostopadłe (gdyż wierzchołki $ B $ i $ D $ leżą symetrycznie względem przekątnej $ AC $), więc twierdzenie zostało udowodnione.

Uwaga 1. Jeżeli czworokąt jest deltoidem, jego przekątne są prostopadłe, ale nie na odwrót, gdyż czworokąt o prostopadłych przekątnych tylko wtedy jest deltoidem, gdy jedna z tych przekątnych jest osią symetrii czworokąta. W powyższym rozwiązaniu udowodniliśmy zatem twierdzenie mocniejsze od twierdzenia podanego w tekście zadania 18.

Uwaga 2. Zachodzi również twierdzenie odwrotne: Jeżeli czworokąt jest deltoidem (wypukłym), to istnieje zarówno okrąg styczny do jego boków jak okrąg styczny do przedłużeń boków. Wynika to natychmiast z faktu, że jedna z przekątnych deltoidu np. $ AC $ (rys. 18) jest jego osią symetrii. Wobec tej symetrii okrąg, którego środek leży na prostej $ AC $ i który jest styczny do boków $ AB $ i $ BC $ (bądź do przedłużeń boków $ AB $ i $ BC $) jest również styczny do boków $ AD $ i $ DC $ (bądź do przedłużeń boków $ AD $ i $ DC $).

Uwaga 3. Rozumowanie użyte wyżej przy rozwiązaniu zadania 18 zawiera pewną lukę. Mianowicie wzory (2) wysnuliśmy z obserwacji rysunku 17, nie zastanawiając się nad tym, czy wzajemne położenie rozważanych punktów musi być zawsze takie, jak na tym rysunku. Dokładniej mówiąc, chodzi o to, czy wierzchołki czworokąta wypukłego mającego okrąg dopisany można zawsze tak oznaczyć literami $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, aby punkty styczności tego okręgu z przedłużeniami boków czworokąta znajdowały się na półprostych $ AB $, $ BC $, $ DC $, $ AD $ jak to ma właśnie miejsce na rys. 17. Udowodnimy, że tak jest istotnie.

Weźmy pod uwagę jeden z boków danego czworokąta wypukłego i prostą $ m $, na której leży ten bok. Rozróżnimy dwa przypadki.

a) Czworokąt i okrąg dopisany znajduje się po tej samej stronie prostej $ m $. W takim razie, punkt styczności prostej $ m $ z okręgiem oznaczymy literą $ M $, a wierzchołki boku leżącego na prostej $ m $ oznaczymy literami $ A $ i $ B $ w taki sposób, żeby punkt $ M $ leżał na półprostej $ AB $. Pozostałe wierzchołki oznaczymy literami $ C $ i $ D $ w ten sposób, aby na obwodzie czworokąta otrzymać kolejność $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Wreszcie punkty styczności prostych $ BC $, $ CD $, $ DA $ z okręgiem dopisanym oznaczymy odpowiednio literami $ N $, $ P $, $ Q $.

Wówczas punkt $ N $ leży na półprostej $ BC $, a punkt $ Q $ - na półprostej $ AD $, gdyż punkty $ C $ i $ N $ a także punkty $ D $ i $ Q $ znajdują się po tej samej stronie prostej $ m $. Punkt $ P $ zaś leży na półprostej $ DC $, gdyż punkty $ D $ i $ P $ leżą po przecjwnych stronach prostej $ BC $ (albowiem czworokąt i okrąg znajdują się po przeciwnych stronach prostej $ BC $). Mamy więc takie położenie wzajemne punktów figury, jak na rys. 17 i zachodzą wzory (2).

b) Czworokąt i okrąg dopisany znajdują się po przeciwnych stronach prostej $ m $. W tym przypadku punkt styczności prostej $ m $ z okręgiem oznaczamy literą $ N $, a wierzchołki boku leżącego na prostej $ m $ oznaczamy literami $ B $ i $ C $ w taki sposób, żeby punkt $ N $ leżał na półprostej $ BC $. Pozostałe wierzchołki oznaczamy literami $ D $ i $ A $ w ten sposób, żeby na obwodzie czworokąta otrzymać kolejność $ B $, $ C $, $ D $, $ A $; wreszcie punkty styczności prostych $ CD $, $ DA $, $ AB $ z okręgiem dopisanym oznaczamy odpowiednio literami $ P $, $ Q $, $ M $. Sprawdzamy jak w a), że punkty $ P $, $ Q $, $ M $ leżą odpowiednio na półprostych $ DC $, $ AD $, $ AB $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź