VIII OM - III - Zadanie 1

Przez środek $ S $ odcinka $ MN $ o końcach leżących na ramionach trójkąta równoramiennego poprowadzono prostą równoległą do podstawy trójkąta przecinającą jego ramiona w punktach $ K $ i $ L $. Dowieść, że rzut prostokątny odcinka $ MN $ na podstawę trójkąta jest równy odcinkowi $ KL $.

Rozwiązanie

Ponieważ łamane $ MNL $ i $ MKL $ mają wspólne końce $ M $ i $ L $ (rys. 19), więc ich rzuty na podstawę trójkąta są równe, co zapiszemy

\[<br />
\textrm{rzut }MNL = \textrm{rzut }MKL.<br />
\]

Biorąc pod uwagę, że rzut łamanej równa się sumie rzutów boków łamanej, otrzymujemy stąd

\[<br />
(1) \qquad<br />
\textrm{rzut }MN + \textrm{rzut }NL =<br />
\textrm{rzut }MK + \textrm{rzut }KL.<br />
\]

Prowadząc $ MP \parallel KL $ widzimy, że $ MK = LP $ (bo trapez $ MPKL $ o równych kątach przy podstawie jest równoramienny), a $ LP = NL $ (bo $ SL \parallel MP $ i $ MS = SN $), więc odcinki $ MK $ i $ NL $ są równe; ponieważ są to odcinki jednakowo nachylone do podstawy trójkąta, więc ich rzuty na tę podstawę są równe. Uwzględniając w równości (1), że $ \textrm{rzut }NL = \textrm{rzut }MK $ i że $ \textrm{rzut }KL = KL $ (bo $ KL $ jest równoległe do podstawy trójkąta) otrzymujemy

\[<br />
\textrm{rzut }MN = KL.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź