VIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że między bokami $ a $, $ b $, $ c $ i kątami przeciwległymi $ A $, $ B $, $ C $ trójkąta zachodzi związek

\[<br />
(1) \qquad a^2 \cos^2 A = b^2 \cos^2 B + c^2 \cos^2 C + 2bc \cos B \cos C \cos 2A.<br />
\]

Rozwiązanie

Podstawiając w równości (1)

\[<br />
(2) \qquad a =2R \sin A,\    b = 2R \sin B,\    c = 2 R \sin C<br />
\]

($ R $ - promień koła opisanego na trójkącie) otrzymujemy po podzieleniu obu stron przez $ R^2 $:

\[<br />
4 \sin^2 A \cos^2 A = 4 \sin^2 B \cos^2 B + 4 \sin^2 C \cos^2 C + 8 \sin B \sin C \cos B \cos C \cos 2A \textrm{ lub krócej}<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad \sin^2 2A = \sin^2 2B + \sin^2 2C + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2A.<br />
\]

Wystarczy uzasadnić wzór (3), gdyż wzór (1) wynika natychmiast ze wzorów (3) i (2). Przekształcimy prawą stronę wzoru (3)

\[<br />
\begin{split}<br />
& \sin^2 2B + \sin^2 2C + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2B \cos 2C - 2 \sin^2 2B \sin^2 2C = \\<br />
& = \sin^2 2B (1 - \sin^2 2C) + \sin^2 2C (1 - \sin^2 2B) + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2B \cos 2C =\\<br />
& = \sin^2 2B \cos^2 2C + \sin^2 2C \cos^2 2B + 2 \sin 2B \sin 2C \cos 2B \cos 2C =\\<br />
& = (\sin 2B \cos 2C + \sin 2C \cos 2B)^2 = [(\sin (2B + 2C)]^2 = (\sin 2A)^2,<br />
\end{split}<br />
\]

wzór (3) jest więc słuszny.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź