VIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli funkcja $ ax^2 + bx + c $ przybiera wartość całkowitą dla każdej całkowitej wartości zmiennej $ x $, to $ 2a $, $ a + b $, $ c $ są liczbami całkowitymi i na odwrót.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że gdy liczba $ x $ jest całkowita, to liczba $ f (x) = ax^2 + bx + c $ też jest całkowita. Wówczas

1) $ f (0) = c $, więc $ c $ jest liczbą całkowitą

2) $ f (1) = a + b + c $, stąd $ a + b = f (1) - c $, więc $ a + b $ jest liczbą całkowitą

3) $ f (2) = 4a + 2b + c $, stąd $ 2a = f (2) - 2 (a + b) - c $, więc $ 2a $ jest liczbą całkowitą.

Odwrotnie, gdy $ 2a $, $ a + b $ i $ c $ są liczbami całkowitymi, to funkcja $ ax^2 + bx + c $ ma dla każdego całkowitego $ x $ wartość całkowitą. Istotnie

\[<br />
ax^2 + bx + c = ax^2 - ax + ax + bx + c = ax (x - 1) + (a + b) x + c = 2a \cdot \frac{x(x-1)}{2} + (a + b) x + c.<br />
\]

Wartość $ ax^2 + bx + c $ jest zatem równa sumie trzech liczb całkowitych (liczba $ x (x - 1) $ jest przy całkowitym $ x $ liczbą parzystą, gdyż jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych).

Uwaga. Proponujemy czytelnikowi następujące ćwiczenie: Dowieść, że warunkiem koniecznym i dostatecznym do tego, aby funkcja $ ax^3 + bx^2 + cx + d $ miała dla każdej całkowitej wartości $ x $ wartość całkowitą, jest warunek żeby liczby $ 6a $, $ 2b $, $ a + b + c $ i $ d $ były całkowite.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź