VIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ a \geq 0 $ i $ b \geq 0 $, to

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{a^2 + b^2} \geq a + b - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab}.<br />
\]

Rozwiązanie

Prawą stronę nierówności (1) można napisać w postaci $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + \sqrt{2ab} $, skąd widać, że jest ona liczbą nieujemną. Wobec tego podnosząc obie strony nierówności (1) do kwadratu otrzymujemy nierówność równoważną

\[<br />
(2) \qquad a^2 + b^2 \geq (a+b)^2 + (6-4\sqrt{2})ab - 2(2 - \sqrt{2})(a+b) \sqrt{ab}.<br />
\]

Nierówności (2) można nadać postać

\[<br />
a^2 + b^2 \geq a^2 + b^2 + (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab} [4\sqrt{ab} - 2 ( a + b)]<br />
\]

lub

\[<br />
(3) \qquad a^2 + b^2 \geq a^2 + b^2 - 2 (2 - \sqrt{2}) \sqrt{ab} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2.<br />
\]

Nierówność (3) jest oczywiście prawdziwa, zatem równoważna jej nierówność (1) jest też prawdziwa.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź