VIII OM - III - Zadanie 6

Dany jest sześcian o podstawie $ ABCD $, przy czym $ AB = a $ cm. Obliczyć odległość prostej $ BC $ od prostej przechodzącej przez punkt $ A $ i przez środek $ S $ ściany przeciwległej do podstawy.

Rozwiązanie

Ponieważ $ BC\parallel AD $, więc prosta $ BC $ jest równoległa do płaszczyzny $ ADS $. Poszukiwana odległość prostych $ BC $ i $ AS $ równa jest odległości prostej $ BC $ od płaszczyzny $ ADS $ (rys. 25).

Weźmy pod uwagę równoległościan, którego podstawą jest kwadrat $ ABCD $, a jedną ze ścian bocznych prostokąt $ AM ND $ będący przekrojem sześcianu płaszczyzną $ ADS $. Objętość tego równoległościanu równa się objętości $ a^3 $ danego sześcianu. Z drugiej strony objętość równoległościanu równa się iloczynowi pola $ AM \cdot MN $ prostokąta $ AMND $ przez odległość $ x $ krawędzi $ BC $ od płaszczyzny prostokąta. Otóż $ AM = \sqrt{AA^2 + A_1M^2} = \sqrt{a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2} $, $ MN = a $, otrzymujemy zatem równanie

\[<br />
\frac{a^2 \sqrt{5}}{2} \cdot x = a^3, \textrm{ skąd } x = \frac{2a}{\sqrt{5}}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź